MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 45

Z definicji $\log_ab=x$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^x=b$. Rozpoznajemy odpowiednie całkowite lub ułamkowe potęgi podstaw.

Sprowadzamy liczby logarytmowane do potęg odpowiednich podstaw: $1=a^0$, $32=2^5$, $1/9=3^{-2}$, $8=4^{3/2}$ i $1/8=4^{-3/2}$.

Dla podstaw ułamkowych korzystamy z $(1/a)^x=a^{-x}$. Otrzymujemy kolejno wykładniki $-1,2,4,3$ oraz $1/2$.

Sprawdzamy obie strony. a) $\log_24+\log_216=2+4=6=\log_2(4\cdot16)$. b) $\log_28+\log_2(1/4)=3-2=1=\log_2(8/4)$. c) $\log_2\sqrt2+\log_2\sqrt8=1/2+3/2=2=\log_24$.

Korzystamy z praw działań na logarytmach. a) $\log_3(27/3)=\log_39=2$; b) $\log_2(16/4)=\log_24=2$; c) $\log_4(4/2)=\log_42=1/2$.

Z definicji logarytmu: $4^2=16$, $6^1=6$ i $2^3=8$. Każda z trzech równości jest więc prawdziwa.

Zapisujemy liczbę logarytmowaną jako iloczyn lub iloraz danych liczb. Przykładowo $\log_2(4\cdot32)=2+5$, a potęga przed logarytmem staje się jego współczynnikiem.

a) $\log15+\log12-\log100=\log(180/100)=\log(9/5)$. b) $\log_2(54/3)=\log_218$, a $2\log_2\sqrt3+\log_26=\log_23+\log_26=\log_218$.

Korzystamy z przesunięcia przecinka, czyli dodania lub odjęcia $\log10=1$, oraz z sumy i różnicy logarytmów. Podane wartości zaokrąglamy do trzech miejsc po przecinku.