Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 42

rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „1.9. Potęga o wykładniku wymiernym” · 7 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zamieniamy pierwiastki na potęgi i sprowadzamy pozostałe czynniki do podstawy $2$ , np. $\sqrt{512}=(2^9)^{1/2}$ .

Odpowiedź

a) $2^{1/2}$ ; b) $2^{1/3}$ ; c) $2^{-1/2}$ ; d) $2^{2/3}$ ; e) $2^{9/2}$ ; f) $2^{10/3}$ ; g) $2^{3/2}$ ; h) $2^{4/3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy $\sqrt[n]{7^m}=7^{m/n}$ i $1/7^q=7^{-q}$ , a następnie dodajemy wykładniki dodatkowych czynników $7$ lub $49$ .

Odpowiedź

a) $7^{3/2}$ ; b) $7^{2/3}$ ; c) $7^{-1/2}$ ; d) $7^{-1/3}$ ; e) $7^{-3/2}$ ; f) $7^{-3/5}$ ; g) $7^{5/2}$ ; h) $7^{6/5}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Zapisujemy podstawy jako potęgi liczb $2,3$ lub $10$ i mnożymy wykładniki. W h: $81^{-1/8}=3^{-1/2}$ .

Odpowiedź

a) $27$ ; b) $25$ ; c) $\frac1{16}$ ; d) $\frac19$ ; e) $\frac1{12}$ ; f) $8$ ; g) $10$ ; h) $\frac{\sqrt3}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

8 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozpoznajemy wygodne pełne potęgi liczb dziesiętnych. Na przykład $0{,}0081=(0{,}3)^4$ , więc $0{,}0081^{-5/4}=(10/3)^5=411\frac{127}{243}$ .

Odpowiedź

a) $0{,}008$ ; b) $2{,}5$ ; c) $0{,}09$ ; d) $125$ ; e) $32$ ; f) $0{,}008$ ; g) $411\frac{127}{243}$ ; h) $0{,}008$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy czynniki do wspólnej podstawy. Przykładowo a) $2^2(2^3)^{2/3}=2^4$ , a w d $0{,}0256^{3/4}=0{,}064$ i $(\sqrt[3]{10})^9=1000$ .

Odpowiedź

a) $16$ ; b) $\frac13$ ; c) $1$ ; d) $64$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

12 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Każdy pierwiastek zastępujemy wykładnikiem ułamkowym, rozkładamy liczby złożone i dodajemy lub odejmujemy wykładniki tych samych podstaw.

Odpowiedź

a) $2^{1/4}$ ; b) $5^{1/6}$ ; c) $5^{3/8}$ ; d) $2^{5/6}$ ; e) $3^{1/6}$ ; f) $3^{1/12}$ ; g) $2^{4/3}$ ; h) $3^{7/6}$ ; i) $2^{3/2}$ ; j) $18^1$ ; k) $2^{-1/2}$ ; l) $3^{7/8}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $x=3\cdot2^{-1}=3/2$ , a $y=2^{-1/3+4/3-1/2}=\sqrt2$ , więc $x>y$ . b) $x=(5/2)^{5/2}$ , $y=6$ ; po podniesieniu dodatnich liczb do kwadratu mamy $x^2=3125/32>36=y^2$ .

Odpowiedź

W obu podpunktach większa jest liczba $x$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem