MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 36

Zapisujemy pierwiastki jako potęgi: $(\sqrt3)^k=3^{k/2}$ i $(\sqrt2)^k=2^{k/2}$, a wykładnik ujemny zmienia potęgę na odwrotność.

Zastępujemy $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$, $32=2^5$ i $64=2^6$, po czym wykonujemy działania na wykładnikach.

Każdą liczbę zapisujemy przy wskazanej wspólnej podstawie: $16=2^4$, $0{,}001=10^{-3}$, $25=5^2$ itd.; następnie mnożymy wykładniki potęgi potęgi.

Odwracamy podstawę, a następnie potęgujemy: a) $1/(-2\sqrt3)^3=-\sqrt3/72$; b) $(\sqrt2/3)^4=4/81$; c) $(-2\sqrt5)^3=-40\sqrt5$; d) $(-3\sqrt2)^2=18$.

W każdym podpunkcie dodajemy lub odejmujemy wykładniki. Wszystkie wyrażenia zawierają dzielenie albo ujemną potęgę liczby $a$, więc konieczne jest $a\ne0$.

Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki. a) $x=2^{4-4}=1$, $y=2^{-8+6}=1/4$. b) $x=(2^2)^{-1}=1/4$, a $y=(2^{-7})^{-1}=128$.

Stosujemy prawa potęg i redukujemy wspólne czynniki. Przykładowo a) $\frac{1/4}{1/27}\cdot\frac{16}{81}=\frac43$, a w e dwa składniki licznika są równe, więc wynik to $0$.

Zapisujemy liczby jako potęgi ich czynników pierwszych i odejmujemy wykładniki przy dzieleniu. W c pierwszy iloraz wynosi $1$, a drugi iloczyn $3/5$; w d otrzymujemy $3^{-3}\cdot3^6=27$.

Rozwijamy potęgi i redukujemy wykładniki: a) iloraz upraszcza się do $y^{-3}$; b) do $a^{-3}b^{-1}c^{-2}$; c) do $729b^6c^2$. Założenia wynikają z ujemnych potęg i mianowników w wyjściowych zapisach.