MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 327

Przenosimy prawą stronę i wyłączamy wspólny czynnik: $3x(x+3)-(x+3)^2=(x+3)(3x-x-3)=(x+3)(2x-3).$ Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się jeden z czynników.

Nierówność jest równoważna $2x^2+7x-4\ge0$. Trójmian ma zera $x=\frac{-7\pm9}{4},$ czyli $-4$ i $\frac12$. Współczynnik główny jest dodatni, więc wybieramy zewnętrzne przedziały wraz z zerami.

Przenosimy prawą stronę i zachowujemy wspólny czynnik:

czyli $(x+1)(3x-2)\le0$. Zera to $-1,\frac23$, a iloczyn jest niedodatni między nimi.

Przekształcamy wzór: $f(x)=x^2-6x=(x-3)^2-9.$ Parabola ma ramiona w górę i wierzchołek dla $x=3$, więc do tego argumentu maleje, a od niego rośnie.

Zera to $-3,5$, więc argument wierzchołka jest ich średnią: $p=1$. Ponieważ ramiona są skierowane w górę, wartość w wierzchołku jest minimum: $f(1)=2(4)(-4)=-32.$

Wyłączamy $\frac14$ i rozpoznajemy kwadrat dwumianu:

Przesunięcie o trzy jednostki w lewo daje $g(x)=-\frac12(x+3)^2.$ Wierzchołek $(-3,0)$ należy do przedziału $[-5,1]$ i daje maksimum $0$. Minimum jest w końcu przedziału najbardziej oddalonym od $-3$, czyli dla $x=1$: $g(1)=-\frac12\cdot16=-8$ (dla $x=-5$ jest $-2$).

Pierwsza nierówność daje $x(x+4)\le0$, czyli $x\in[-4,0]$. Druga daje $(x-2)(x+2)>0$, czyli $x\in(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$. Część wspólna to $[-4,-2)$, a jej elementy całkowite to $-4,-3$.

Ze skanu odczytujemy miejsce zerowe $x=1$. Oś symetrii ma równanie $x=3$, więc drugie zero to $5$. Piszemy $f=a(x-1)(x-5)$. W wierzchołku $-1=f(3)=a(2)(-2)=-4a$, skąd $a=\frac14$. Zatem

Druga przekątna ma długość $\frac{21}{2}-x$. Obie długości muszą być dodatnie, więc $0<x<\frac{21}{2}$. Pole rombu jest połową iloczynu przekątnych: