MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 326

Dla $f(x)=4x^2-12x+c$ wierzchołek ma argument $x=\frac{12}{8}=\frac32$. Minimalna wartość wynosi $f(\tfrac32)=9-18+c=c-9.$ Aby zbiorem wartości był $[-10,\infty)$, potrzeba $c-9=-10$, czyli $c=-1$.

Oś paraboli $ax^2+bx+c$ ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=\sqrt2$ i chcemy $-\frac{b}{2\sqrt2}=\sqrt2$, stąd $-b=4$, czyli $b=-4$.

Ramiona są skierowane w dół, gdy współczynnik przy $x^2$ jest ujemny. Liczba $2-\sqrt2$ jest dodatnia, a $1-\sqrt2$ ujemna, więc zostają C i D. W C wierzchołek $(0,-6)$ leży pod osią. W D, przy ujemnym współczynniku, wartość w wierzchołku jest dodatnia ($q=-\Delta/(4a)>0$).

Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $\Delta>0$.

A i B: $\Delta=12-8\sqrt3<0$. C: $\Delta=18-8\sqrt3>0$. D: $\Delta=18-16\sqrt3<0$.

Przy współczynniku głównym $4$ i zerach $5,-3$ funkcja ma postać $y=4(x-5)(x+3)=4(x^2-2x-15)=4x^2-8x-60.$ Stąd $b=-8$, $c=-60$.

Miejsca zerowe iloczynu $(2x+8)(3x+6)$ to $-4,-2$, więc oś symetrii ma równanie $x=-3$. Wartość w tym punkcie wynosi $(2)(-3)=-6$.

W odpowiedzi B lewa strona to $-4x^2-1$, która jest ściśle ujemna dla każdego $x\in\mathbb R$. Pozostałe trójmiany mają miejsca zerowe lub przyjmują oba znaki, więc ich nierówności nie zachodzą dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Nierówność $2x^2>3$ daje $x^2>\frac32$, czyli $|x|>\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}$. Otrzymujemy dwa zewnętrzne przedziały bez końców.

W kolejnych odpowiedziach dodatni pierwiastek trójmianu wynosi odpowiednio $\frac{11}{2},\frac92,\frac72,\frac52$ (drugi pierwiastek to $-1$). Nierówność z ramionami w górę zachodzi dla $x$ większych od dodatniego pierwiastka. Ponieważ $\frac52<\pi<\frac72$, tylko odpowiedź D obejmuje liczbę $\pi$.