MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 328

Pierwszy czynnik ma pierwiastki $-2,13$. Drugi ma pierwiastki $x=\frac{-7\pm\sqrt{17}}4.$ Najmniejszy ze wszystkich to $x_1=\frac{-7-\sqrt{17}}4\approx-2{,}7808$, więc $|x_1|\approx2{,}7808$. Cyfra jedności to $2$, a dwie pierwsze cyfry po przecinku to $7,8$.

Pierwsza nierówność ma zera $-2,16$ i jest spełniona dla $x<-2$ lub $x>16$. Druga ma zera $0,23$ i daje $x\in[0,23]$. Wspólnie otrzymujemy $x\in(16,23]$, więc liczbami naturalnymi są $17,18,19,20,21,22,23$. Ich suma to $S=\frac{(17+23)\cdot7}{2}=140.$

Parabola wyjściowa ma postać $y=(x-2)^2+7$, więc jej najmniejsza wartość to $7$. Przesunięcie pionowe o $-2\sqrt3$ zmienia minimum na $7-2\sqrt3\approx3{,}5359.$ Przesunięcie poziome o $\sqrt3$ nie zmienia zbioru wartości. Kodujemy cyfrę jedności $3$ i pierwsze cyfry dziesiętne $5,3$.

Jedno zero $f$ to $-5$, a oś symetrii ma równanie $x=-3$, więc drugie zero to $-1$. Zatem $f=a(x+5)(x+1)$. Warunek $f(-3)=1$ daje $-4a=1$, czyli $a=-\frac14$.

Przesunięcie o $[0,p]$ oznacza $g(x)=f(x)+p$. Ponieważ $g(4)=0$, $p=-f(4)=-\left[-\frac14(9)(5)\right]=\frac{45}{4}=11{,}25.$ Kodujemy cyfrę jedności $1$ oraz cyfry $2,5$ po przecinku.

Miejsca zerowe funkcji $f$ wyznacza równanie $2x^2-11x+15=0$. Ponieważ $\Delta=1$, są to $x=\frac52$ i $x=3$. Moniczna funkcja $g$ o tych samych zerach ma postać $g(x)=(x-\frac52)(x-3)=x^2-\frac{11}{2}x+\frac{15}{2}.$

Niech $q(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$. Na przedziale $[-1,3]$ wartości $q$ są niedodatnie i odbijamy tę część paraboli względem osi $OX$; poza nim pozostaje bez zmian:

Wierzchołek $g$ to $(-1,-2)$, więc $g=a(x+1)^2-2$. Ze stałego wyrazu $g(0)=-1$ dostajemy $a-2=-1$, czyli $g(x)=(x+1)^2-2,$ o zerach $-1\pm\sqrt2$. Funkcja $f=-(x+1)(x-3)$ ma zera $-1,3$, jest dodatnia między nimi i ujemna poza. Porównując znaki na przedziałach wyznaczonych przez $-1-\sqrt2,-1,-1+\sqrt2,3$, wybieramy te, na których są przeciwne.

Rozpatrujemy znak argumentu wartości bezwzględnej.

Dla $x\ge0$ nierówność ma postać $-x^2+4x+1\le x+1$, czyli $x(3-x)\le0$. W tej półosi daje $x=0$ lub $x\ge3$.

Dla $x<0$ mamy $|x|=-x$, więc $-x^2-4x+1\le x+1$, czyli $x(x+5)\ge0$. Przy $x<0$ daje to $x\le-5$. Punkty $-5,0,3$ są przecięciami odpowiednich fragmentów wykresów.