MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 324

a) $f=a(x+1)(x-3)$. Oś ma równanie $x=1$, a maksimum $f(1)=-4a=2$, więc $a=-\frac12$.

b) $f=a(x+3)(x-7)$. Minimum jest dla $x=2$ i wynosi $-25a=-5$, więc $a=\frac15$.

c) Równe wartości w punktach o argumentach $2,4$ wskazują oś $x=3$. Minimum $0$ oznacza $f=a(x-3)^2$; z $f(2)=5$ dostajemy $a=5$.

Piszemy $f=a(x-2)^2+4$ i podstawiamy punkt $P$.

a) $0=4a+4$, więc $a=-1$. b) $7=9a+4$, więc $a=\frac13$. c) $10=16a+4$, więc $a=\frac38$.

Współrzędna $x$ wierzchołka jest średnią obu miejsc zerowych. Jeżeli drugim zerem jest $r$, to $p=\frac{3+r}{2}$, czyli $r=2p-3$.

a) $r=10-3=7$. b) $r=-6-3=-9$. c) $r=1-3=-2$. d) $r=\frac52-3=-\frac12$.

Stosujemy wyłączanie wspólnego czynnika lub różnicę kwadratów.

a) $(x-3)(-x-2)=0$. b) $(x+2)(-2x+6)=0$. c) $(4-(3x-1))(4+(3x-1))=0$. d) $(3x-(2x-1))(3x+(2x-1))=0$. e) $2x=\pm(1-x)$. f) $2x+1=\pm(4x+5)$.

a) Pierwsza nierówność daje $(-\infty,-\frac13)\cup(2,\infty)$, a druga $[-\frac12,\frac12]$. Ich część wspólna to $[-\frac12,-\frac13)$.

b) Pierwsza nierówność jest równoważna $3x^2-5x-6\le0$, więc $x\in[\frac{5-\sqrt{97}}6,\frac{5+\sqrt{97}}6]$. Druga daje $|x|>\frac53$. Ponieważ lewy koniec pierwszego przedziału jest większy niż $-\frac53$, pozostaje tylko jego część dodatnia.

Podstawiamy współrzędne punktów do $ax^2+bx+c$ albo wykorzystujemy symetrię i znane zera.

a) Zera $-1,1$: $f=a(x-1)(x+1)$; $f(0)=2$ daje $a=-2$. b) $c=4$, a równania dla $x=1,2$ dają $a=-1,b=0$. c) Punkty $(2,4),(4,4)$ są symetryczne względem $x=3$, a $(3,0)$ jest wierzchołkiem; $f=a(x-3)^2$ i $a=4$. d) Oś symetrii ma równanie $x=2$. Z $f=a(x-2)^2+q$ oraz wartości dla $x=1,4$ dostajemy $a=-2,q=4$.

Każdy warunek rozdziela się na niezależny zbiór argumentów $x$ i wartości $y$, więc szukany obszar jest ich iloczynem kartezjańskim.

a) $x\in[-3,4]$, $y\in[-2,2]$. b) $x\in[0,3]$, $y\in[-1,2]$. c) $x\in(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$, $y\in(0,2)$. d) $x\in(-\infty,-2)\cup(3,\infty)$, $y\in(-\infty,0]\cup[3,\infty)$. Granice wynikające z nierówności ostrych są wyłączone, a z nieostrych — włączone.