MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 323

Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej $a(x-p)^2+q$. Znak $a$ wyznacza kierunek monotoniczności po obu stronach $p$.

a) $f=x^2-\sqrt2$. b) $f=-(x-3)^2+9$. c) $f=(x-4)^2-9$. d) $f=-(x-2)^2+9$. e) $f=-\frac13(x-3)^2+3$. f) $f=\frac16(x+\frac34)^2-\frac3{32}$.

Wyznaczamy zera, wartość $f(0)$ i wierzchołek.

a) $x(x-4)$: zera $0,4$, wierzchołek $(2,-4)$. b) $-x(x-2)$: zera $0,2$, wierzchołek $(1,1)$. c) $-(x+2)(x-4)$: zera $-2,4$, $f(0)=8$, wierzchołek $(1,9)$. d) $(x+4)(x+2)$: zera $-4,-2$, $f(0)=8$, wierzchołek $(-3,-1)$. e) $(2x-1)(x-2)$: zera $\frac12,2$, $f(0)=2$, wierzchołek $(\frac54,-\frac98)$. f) $-2(x-1)(x-3)$: zera $1,3$, $f(0)=-6$, wierzchołek $(2,2)$.

Stosujemy rozkład lub wzór kwadratowy.

a) $(x+7)(x-3)=0$. b) Po zmianie znaku: $6x^2+7x-5=0$, $\Delta=169$. c) $(\frac32x-4)^2=0$. d) Po zmianie znaku $x^2-3\sqrt2x+5=0$ ma $\Delta=-2$. e) $\Delta=25-12=13$. f) $\Delta=9+8=17$.

Upraszczamy równania, korzystając też z różnicy kwadratów.

a) $(7x+10)^2=0$. b) $(x+3)^2=(2x-1)^2$, więc $x+3=\pm(2x-1)$. c) Po przeniesieniu: $x^2+x-4=0$. d) Po pomnożeniu przez $4$: $5(x+2)^2=0$. e) $(x-10)[(2x-4)-(x+6)]=(x-10)^2=0$. f) Po uporządkowaniu: $3x^2+2x+1=0$, $\Delta=-8$. g) Po uporządkowaniu: $x^2+4x-10=0$. h) Po uporządkowaniu: $5x^2-13x+19=0$, $\Delta=-211$.

Sprowadzamy każdą nierówność do znaku jednego trójmianu.

a) Zera $\pm\frac{\sqrt3}{3}$, współczynnik dodatni. b) Po zmianie stron: $4x(x+3)\ge0$. c) Po pomnożeniu przez $4$: $x^2-20x+28<0$, zera $10\pm6\sqrt2$. d) $6x^2-2x+3>0$ ma ujemny wyróżnik. e) Po uproszczeniu: $4x^2-7x-2\ge0$, zera $-\frac14,2$. f) Po uproszczeniu: $(3x+2)(x-1)<0$. g) Po podstawieniu $u=x^2$ strony różnią się o $8u-6$, więc $x^2\ge\frac34$. h) Po uproszczeniu: $x^2-24x+9\le0$, zera $12\pm3\sqrt{15}$.

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ wynosi $1$, postać kanoniczna to $f=(x-p)^2+q$ dla $W(p,q)$. Po rozwinięciu $b=-2p$ oraz $c=p^2+q$.

a) $p=0,q=1$. b) $p=1,q=3$. c) $p=-2,q=2$. d) $p=4,q=-1$.

Funkcja ma ramiona w górę, a jej minimum wynosi $q=1-\frac{b^2}{8}.$ Przyrównujemy $q$ do lewego końca podanego zbioru wartości.

a) $1-\frac{b^2}{8}=-1$, więc $b^2=16$. b) $1-\frac{b^2}{8}=0$, więc $b^2=8$. c) $1-\frac{b^2}{8}=2$ wymagałoby $b^2=-8$, co jest niemożliwe. d) $1-\frac{b^2}{8}=\frac12$, więc $b^2=4$.