MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 321

Dla ogniska $F(0,p)$ i kierownicy $y=-p$ parabola ma równanie $y=\frac1{4p}x^2$.

a) $p=\frac12$, więc $\frac1{4p}=\frac12$. b) $p=-\frac12$, więc $\frac1{4p}=-\frac12$. c) $p=\frac16$, więc $\frac1{4p}=\frac32$.

Jeżeli $y=ax^2$, to $a=\frac1{4p}$, czyli $p=\frac1{4a}$. Ognisko ma współrzędne $(0,p)$, a kierownica równanie $y=-p$.

a) $a=-1$, $p=-\frac14$. b) $a=2$, $p=\frac18$. c) $a=-2$, $p=-\frac18$. d) $a=\frac18$, $p=2$.

Z definicji paraboli dla punktu $P$ mamy $|PF|=d(P,k)$. Na rysunku punkt $P$ leży między równoległymi prostymi $k$ i $l$, zatem $d(P,k)+d(P,l)=d(k,l).$ W konsekwencji $|PF|+d(P,l)=d(k,l),$ a prawa strona jest stałą niezależną od $P$.

Argument jest prawdziwy dla punktów łuku paraboli położonych między $k$ i $l$. Bez tego ograniczenia zdanie z treści nie jest prawdziwe: dla punktu paraboli leżącego powyżej $l$ odległości od obu prostych nie sumują się do $d(k,l)$.