MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 319

Sprowadzamy każdą nierówność do znaku trójmianu i wyznaczamy jego miejsca zerowe.

a) $(x-5)(x+5)>0$; b) $(x-4)(x+4)\le0$; c) $(2x-3)(2x+3)\ge0$; d) $(x-3)(x+2)\ge0$; e) $(x-4)(x+1)\le0$; f) $(x-5)(x+1)<0$; g) $(2x+1)(x-5)\le0$; h) $(2x-1)(x+3)>0$.

i) $3x^2-x+1$ ma $\Delta=-11<0$ i jest zawsze dodatni. j) $6x^2-x-12$ ma zera $-\frac43,\frac32$. k) $x^2-6x-16\le0$ ma zera $-2,8$. l) $2x^2-3x+18$ ma $\Delta=-135<0$ i jest zawsze dodatni.

Najpierw rozwiązujemy nierówność, potem zliczamy liczby całkowite.

a) $x^2\le36$, więc $x\in[-6,6]$: jest $13$ liczb całkowitych. b) $x(x-3)>0$, czyli $x<0$ lub $x>3$: liczb całkowitych jest nieskończenie wiele. c) $2x^2-x-10\le0$ daje $x\in[-2,\frac52]$, czyli liczby $-2,-1,0,1,2$: razem $5$. d) $(x+2)(x-1)<0$, więc $x\in(-2,1)$; całkowite są $-1,0$: razem $2$.

Rozpoznajemy kwadraty dwumianów albo korzystamy z wyróżnika.

a) $-2(x-\frac32)^2<0$ — wszystkie liczby poza $\frac32$. b) $-3(x-\frac13)^2\le0$ — wszystkie liczby. c) $(x+1)^2+1>0$ — wszystkie liczby. d) $-(3x-\frac13)^2<0$ — wszystkie poza $\frac19$. e) $2x^2-x+\frac12$ ma $\Delta=-3<0$ i jest dodatni — brak rozwiązań. f) $-(2x-3)^2\ge0$ zachodzi tylko przy zerowym kwadracie.

Rozwiązujemy $f(x)-g(x)>0$.

a) $x^2+x-2=(x+2)(x-1)>0$. b) $2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)>0$. c) $-\frac12x^2-4x-3>0$ jest równoważne $x^2+8x+6<0$; jego zera to $-4\pm\sqrt{10}$.

Przenosimy prawą stronę na lewą i upraszczamy.

a) $(x-3)(x+2)<0$. b) $x^2+12x-5\ge0$, zera $-6\pm\sqrt{41}$. c) $x^2-18x+6\ge0$, zera $9\pm5\sqrt3$. d) $x^2+3x-2\ge0$, zera $\frac{-3\pm\sqrt{17}}2$. e) $3x^2-5x+11\ge0$ ma ujemny wyróżnik i dodatni współczynnik główny. f) $5x^2+6x+1<0=(5x+1)(x+1)<0$.

a) $A=[-2,3]$. Z nierówności $x(x+4)\ge0$ mamy $B=(-\infty,-4]\cup[0,\infty)$. Wykonujemy działania na przedziałach.

b) Trójmian definiujący $A$ ma zera $-4,\frac12$, więc $A=(-\infty,-4)\cup(\frac12,\infty)$. Drugi warunek to $(x-\frac12)^2\le0$, zatem $B=\{\frac12\}$.

Każde wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

a) $(x-4)(x+1)\ge0$. b) $-2x^2+5x+3\ge0$ ma zera $-\frac12,3$. c) Jednocześnie $|x|\ge1$ i $|x|\le2$. d) Jednocześnie $|x|\ge\frac{\sqrt2}{2}$ oraz $|x|\le\frac32$.

Długości obu boków muszą być dodatnie. Warunki $x-1>0$ oraz $2x+3>0$ dają łącznie $x>1$. Pole jest równe $P(x)=(x-1)(2x+3)=2x^2+x-3.$

a) $P<7$ prowadzi do $2x^2+x-10<0$, czyli $x\in(-\frac52,2)$. Po przecięciu z dziedziną zostaje $(1,2)$.

b) $P>18$ daje $2x^2+x-21>0$, czyli $x\in(-\infty,-\frac72)\cup(3,\infty)$. Z dziedziną: $(3,\infty)$.

Podstawiamy $u=|x|\ge0$, wtedy $x^2=u^2$.

a) $u(u-4)\ge0$, więc $u=0$ lub $u\ge4$. b) $(u+3)(u-1)<0$, a przy $u\ge0$ dostajemy $0\le u<1$. c) $(2u+1)(u-3)\ge0$, więc przy $u\ge0$ mamy $u\ge3$.