MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 315

Drugi pierwiastek jest symetryczny do zaznaczonego względem prostej przechodzącej przez wierzchołek. Następnie wartość w wierzchołku wyznacza współczynnik $a$. Opis Markdown zachował komplet współrzędnych.

a) Oś $x=3$, więc drugi pierwiastek to $1$. Dla $x=3$ iloczyn wynosi $-4$, zatem $a=1$. b) Oś $x=-2$, więc drugi pierwiastek to $0$. W wierzchołku iloczyn wynosi $-4$, zatem $a=-\frac12$. c) Oś $x=2$, więc drugi pierwiastek to $5$. W wierzchołku iloczyn wynosi $-9$, zatem $a=\frac13$.

Oś symetrii przechodzi przez średnią pierwiastków.

a) Pierwiastki różnią się o $2$ i mają średnią $-2$, więc są równe $-3,-1$. Piszemy $f=a(x+3)(x+1)$. W wierzchołku $f(-2)=-a=4$, zatem $a=-4$.

b) Niech pierwiastki będą $r,3r$. Ich średnia $2r=4$, więc $r=2$ i zera to $2,6$. Dla $f=a(x-2)(x-6)$ mamy $f(4)=-4a=2$, czyli $a=-\frac12$.

Odbicie względem osi $OY$ oznacza podstawienie $-x$. Następnie przekształcamy wzory do żądanych postaci.

=-\frac43x(x+3)=-\frac43(x+\frac32)^2+3.$$ $$g_1(x)=g(-x)=-\frac12x^2-2x =-\frac12x(x+4)=-\frac12(x+2)^2+2.$$ $$h_1(x)=h(-x)=-\frac29x^2-\frac23x =-\frac29x(x+3)=-\frac29(x+\frac32)^2+\frac12.$$

Jeżeli stare pierwiastki mają sumę $S$ i iloczyn $P$, to po ich podwojeniu nowa suma wynosi $2S$, a iloczyn $4P$. Dla trójmianu monicznego $b$ jest liczbą przeciwną do sumy, a $c$ iloczynem.

a) $S=4,P=3$, więc nowa suma $8$, iloczyn $12$. b) $S=3\sqrt2,P=4$, więc nowa suma $6\sqrt2$, iloczyn $16$. c) $S=4,P=2$, więc nowa suma $8$, iloczyn $8$.

Szukany trójmian ma ten sam współczynnik $\frac12$, zatem $f=\frac12(x-x_1)(x-x_2)$. Wektor przesunięcia wykresu $y=\frac12x^2$ jest równy $[p,q]$, gdzie $p$ to średnia zer, a $q=f(p)$.

a) $p=3$, $q=\frac12(2)(-2)=-2$. b) $p=-2$, $q=\frac12(4)(-4)=-8$. c) $p=3$, $q=\frac12(\sqrt2)(-\sqrt2)=-1$.

Gdy $\Delta\ge0$, liczba $\sqrt\Delta$ jest rzeczywista. W postaci kanonicznej stosujemy różnicę kwadratów:

$$\begin{aligned} y&=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2- \left(\frac{\sqrt\Delta}{2a}\right)^2\right]\\ &=a\left(x+\frac{b-\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x+\frac{b+\sqrt\Delta}{2a}\right)\\ &=a\left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right). \end{aligned}$$

Ostatni wiersz jest postacią iloczynową, a jego czynniki odpowiadają obu pierwiastkom wzoru kwadratowego (jednemu podwójnemu przy $\Delta=0$).