MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 314

Liczymy wyróżnik i pierwiastki; przy $\Delta<0$ rzeczywista postać iloczynowa nie istnieje.

a) $(2x+1)(x-2)$. b) $-(x-3)(x+2)$. c) $(4x+3)(x-1)$. d) Pierwiastki $\frac{5\pm\sqrt{13}}6$, więc $3(x-\frac{5-\sqrt{13}}6)(x-\frac{5+\sqrt{13}}6)$. e) $\Delta=-12<0$ — niemożliwe w $\mathbb R$. f) $(x-\sqrt3)(x+2\sqrt3)$. g) $-2(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)$. h) $\frac16x(2x+1)$. i) $\Delta=-216<0$ — niemożliwe w $\mathbb R$.

Dla wielomianu monicznego o pierwiastkach $x_1,x_2$ mamy $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$, czyli $b=-(x_1+x_2)$ i $c=x_1x_2$.

a) suma $8$, iloczyn $15$. b) suma $-5$, iloczyn $-36$. c) suma $\frac{22}{3}$, iloczyn $\frac73$. d) suma $-\frac{11}{35}$, iloczyn $-\frac6{35}$. e) suma $-5$, iloczyn $0$. f) suma $0$, iloczyn $-3$. g) suma $1+2\sqrt2$, iloczyn $2+\sqrt2$. h) suma $2$, iloczyn $(1+\sqrt7)(1-\sqrt7)=-6$.

Oś symetrii leży w połowie między miejscami zerowymi; wartość $y_w$ obliczamy ze wzoru funkcji.

a) Zera $0,6$, więc $x_w=3$ i $y_w=3(3-6)=-9$. b) Zera $-6,2$, więc $x_w=-2$ i $y_w=\frac12\cdot4\cdot(-4)=-8$. c) Zera $-\frac12,\frac32$, więc $x_w=\frac12$ i $y_w=(2)(-2)=-4$. Ilustracja w ramce nie wnosi dodatkowych danych.

Punkty na osi $OX$ wynikają z czynników, punkt na osi $OY$ z podstawienia $x=0$, a wierzchołek leży w połowie między zerami.

a) Zera $-6,0$, punkt $OY=(0,0)$, oś $x=-3$ i $f(-3)=9$. b) Zera $1,5$, punkt $OY=(0,5)$, oś $x=3$ i $f(3)=-4$. c) Zera $-3,1$, punkt $OY=(0,\frac32)$, oś $x=-1$ i $f(-1)=2$. Kierunek ramion wynika ze znaku współczynnika przy $x^2$.

Piszemy $f=a(x-x_1)(x-x_2)$. Ekstremum leży w połowie między zerami, a jego podana wartość wyznacza $a$.

a) $p=1$, $-4a=-4$, więc $a=1$. b) $p=-2$, $-4a=2$, więc $a=-\frac12$. c) $p=-3$, $-25a=10$, więc $a=-\frac25$. d) $p=3$, $-9a=-6$, więc $a=\frac23$.

Dla odczytanych zer piszemy $f=a(x-x_1)(x-x_2)$ i podstawiamy współrzędne punktu $P$. Wszystkie potrzebne współrzędne zachował opis rysunków w Markdown.

a) $f=a(x-1)(x-3)$, a $f(0)=3a=3$, więc $a=1$. b) $f=a(x+1)(x-3)$, a $f(0)=-3a=-\frac32$, więc $a=\frac12$. c) $f=ax(x+4)$, a $f(-3)=-3a=3$, więc $a=-1$.