MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 310

Po obliczeniu wyróżnika stosujemy wzór kwadratowy.

a) $\Delta=361$: $x=-\frac52,7$.

b) $\Delta=121$: $x=\frac14,3$.

c) $\Delta=289$: $x=-\frac13,\frac52$.

d) $\Delta=-84$: brak rozwiązań.

e) $\Delta=1$: $x=1,\frac32$.

f) $\Delta=0$: $x=-\frac32$.

g) $\Delta=-1$: brak rozwiązań.

h) $\Delta=\frac94$: $x=-\frac12,1$.

i) $\Delta=0$: $x=\frac23$.

Sprowadzamy równania do postaci ogólnej i stosujemy wzór kwadratowy.

a) $2x^2+7x+3=0$: $x=-3,-\frac12$.

b) $3x^2-x-10=0$: $x=-\frac53,2$.

c) $16x^2+24\sqrt2x+18=0$: podwójny pierwiastek $x=-\frac{3\sqrt2}{4}$.

d) $3x^2+2x-6=0$: $x=\frac{-1\pm\sqrt{19}}3$.

e) $5x^2+2x-2=0$: $x=\frac{-1\pm\sqrt{11}}5$.

f) $5x^2-8x+5=0$ i g) $11x^2-x+55=0$ mają ujemne wyróżniki.

h) $x^2-3x-7=0$: $x=\frac{3\pm\sqrt{37}}2$.

i) $3x^2-7x+1=0$: $x=\frac{7\pm\sqrt{37}}6$.

Rozwijamy nawiasy, przenosimy wszystko na jedną stronę i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

a) Otrzymujemy $2x^2+3x-2=0$: $x=-2,\frac12$.

b) $15x^2+7x-2=0$: $x=-\frac23,\frac15$.

c) $x^2-10x+12=0$: $x=5\pm\sqrt{13}$.

d) $x^2-18x+72=0$: $x=6,12$.

e) $x^2-7x+3=0$: $x=\frac{7\pm\sqrt{37}}2$.

f) Po redukcji otrzymujemy równanie o ujemnym wyróżniku, więc brak rozwiązań rzeczywistych.

Badamy znak wyróżnika.

a) $\Delta=4-8(\sqrt2-1)=12-8\sqrt2=4(\sqrt2-1)^2>0$, więc są dwa rozwiązania.

b) $\Delta=(2\sqrt3-1)^2-4\cdot13\cdot\frac18=\frac{13}{2}-4\sqrt3<0$, więc nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Najpierw wyznaczamy miejsca zerowe $f$, a w $g$ i $h$ zauważamy podstawienie argumentu.

a) $f$: $2\pm\frac{\sqrt6}{2}$. Ponieważ $g(x)=f\left(x-\frac14\right)$, jego zera to $\frac94\pm\frac{\sqrt6}{2}$. Ponieważ $h(x)=f\left(x-\frac{\sqrt6}{2}\right)$, jego zera to $2$ i $2+\sqrt6$.

b) $f$: $4\pm2\sqrt7$. Dla $g(x)=f\left(x+\frac72\right)$ zera to $\frac12\pm2\sqrt7$. Dla $h(x)=f(x+2\sqrt7)$ zera to $4-4\sqrt7$ oraz $4$.

Rozbijamy każde równanie $|A|=c$ na $A=c$ lub $A=-c$.

a) $x^2-2x=1$ daje $x=1\pm\sqrt2$, a $x^2-2x=-1$ daje $x=1$.

b) $x^2+4x=3$ daje $x=-2\pm\sqrt7$, a $x^2+4x=-3$ daje $x=-1,-3$.

Korzystamy z równoważności $|A|=|B|\iff A=B$ lub $A=-B$.

a) Pierwszy przypadek daje $x=-2$, drugi $2x^2+x-2=0$, czyli $x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}4$.

b) Otrzymujemy $x^2=0$ albo $3x^2-2x=0$, więc $x=0,\frac23$.

c) Otrzymujemy $x=1$ albo $x^2+x-2=0$, więc $x=-2,1$.

d) Otrzymujemy $x^2-1=0$ albo $x^2+2x-7=0$, więc $x=-1,1,-1\pm2\sqrt2$.