MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 306

W każdym równaniu wyłączamy $x$ przed nawias.

a) $-7x(x-6)=0$: $x=0$ lub $6$.

b) $x\left(9x+\frac13\right)=0$: $x=0$ lub $-\frac1{27}$.

c) $6x(6x-1)=0$: $x=0$ lub $\frac16$.

d) $2x(1+9x)=0$: $x=0$ lub $-\frac19$.

e) $\sqrt2x(x-2)=0$: $x=0$ lub $2$.

f) $x(3x+\sqrt3)=0$: $x=0$ lub $-\frac{\sqrt3}{3}$.

Korzystamy z różnicy kwadratów albo kwadratu dwumianu.

a) $x^2=\frac{81}{100}$: $x=\pm\frac9{10}$.

b) $x^2=\frac49$: $x=\pm\frac23$.

c) $(x+5)^2=0$: $x=-5$.

d) $(x-8)^2=0$: $x=8$.

e) $(x-12)^2=0$: $x=12$.

f) $(3x+1)^2=0$: $x=-\frac13$.

g) $2x^2=1$: $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

h) Po uporządkowaniu $(x-2)^2=0$: $x=2$.

i) Po rozwinięciu $(x-6)^2=0$: $x=6$.

Punkt na osi $OY$ otrzymujemy dla $x=0$, a punkty na osi $OX$ — rozwiązując $f(x)=0$.

a) $3x(x-4)=0$: $(0,0)$ i $(4,0)$.

b) $3(x^2-4)=0$: $(-2,0)$, $(2,0)$ oraz $(0,-12)$.

c) Brak miejsc zerowych; punkt $(0,12)$.

d) $4x(225x+1)=0$: $(0,0)$ i $\left(-\frac1{225},0\right)$.

e) Brak miejsc zerowych; punkt $(0,4)$.

f) $900x^2=4$: $\left(\pm\frac1{15},0\right)$ oraz $(0,-4)$.

Wyznaczamy miejsca zerowe obu funkcji i bierzemy część wspólną.

a) $f$: $-2,2$; $g=(x-2)^2$: $2$. Wspólne miejsce zerowe: $2$.

b) $f=x(x+4)$: $0,-4$; $g=\frac12(x+4)^2$: $-4$. Wspólne: $-4$.

c) $f$: $-3,3$; $g=(x-3)^2$: $3$. Wspólne: $3$.

a) $6x^2=18$, więc $x^2=3$ i $x=\pm\sqrt3$.

b) $x^2=-4$ — brak rozwiązań rzeczywistych.

c) $x^2=\frac52$, więc $x=\pm\frac{\sqrt{10}}2$.

d) $x^2=-\frac14$ — brak rozwiązań rzeczywistych.

Korzystamy z równoważności $A^2=B^2\iff A=B$ lub $A=-B$ oraz z zasady iloczynu zerowego.

a) Otrzymujemy $x=-6$ lub $x=0$.

b) Otrzymujemy $x=3$ lub $x=4$.

c) Pierwszy czynnik ma pierwiastek $\frac14$, drugi ma pierwiastki $\pm\frac23$.

d) Czynniki dają $x=-6$ oraz $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

Równanie $|A|=c$ dla $c>0$ rozbijamy na $A=c$ i $A=-c$.

a) $x^2-1=3$ daje $x=\pm2$; drugi przypadek nie daje liczb rzeczywistych.

b) $4x^2-3=1$ daje $x=\pm1$, a $4x^2-3=-1$ daje $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

c) $2x^2-6=0$, więc $x=\pm\sqrt3$.

d) Niech $t=|x|\ge0$. Wtedy $t^2=t$, zatem $t=0$ lub $1$, czyli $x\in\{-1,0,1\}$.