MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 302

Najwygodniej użyć postaci $f(x)=a(x-x_w)^2+y_w$ i podstawić punkt $P$.

a) $2=4a$, więc $a=\frac12$; $f=\frac12(x-2)^2=\frac12x^2-2x+2$.

b) $0=a-1$, więc $a=1$; $f=(x+1)^2-1=x^2+2x$.

c) $1=9a+3$, więc $a=-\frac29$; $f=-\frac29x^2+3$.

d) $0=a+3$, więc $a=-3$; $f=-3(x+1)^2+3=-3x^2-6x$.

e) $1=a+2$, więc $a=-1$; $f=-(x-1)^2+2=-x^2+2x+1$.

f) $2=a+4$, więc $a=-2$; $f=-2(x-2)^2+4=-2x^2+8x-4$.

Korzystamy z postaci iloczynowej wyznaczonej przez punkty przecięcia z osią $OX$.

a) $y=a(x-1)(x-3)$. Z punktu $(0,3)$: $3=3a$, więc $a=1$ i $y=x^2-4x+3$.

b) $y=a(x+6)(x-2)$. Z punktu $(0,6)$: $6=-12a$, więc $a=-\frac12$ i $y=-\frac12x^2-2x+6$.

Do wzoru $y=ax^2+bx+c$ podstawiamy współrzędne trzech punktów i rozwiązujemy otrzymany układ równań.

a) Z $B(0,4)$ mamy $c=4$; pozostałe równania dają $a=-1$, $b=-2$.

b) Układ daje $a=\frac35$, $b=\frac65$, $c=-\frac{19}{5}$.

c) Układ daje $a=\frac12$, $b=1$, $c=-\frac92$.

d) Układ daje $a=\frac9{40}$, $b=-\frac1{20}$, $c=-\frac{14}{5}$.

Po przesunięciu o $[p,q]$ otrzymujemy odpowiednio $y=(x-p)^2+q$ albo $y=-(x-p)^2+q$.

a) Z warunków $(-2-p)^2+q=0$ i $(2-p)^2+q=4$ po odjęciu dostajemy $-8p=4$, więc $p=-\frac12$, a $q=-\frac94$.

b) Z warunków $-(-2-p)^2+q=0$ i $-(2-p)^2+q=4$ dostajemy $8p=4$, więc $p=\frac12$, a $q=\frac{25}{4}$.