MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 301

Oś symetrii funkcji $ax^2+bx+c$ ma równanie $x=-\frac b{2a}$. Porównujemy je z podanym równaniem prostej.

a) $-\frac b2=2$, więc $b=-4$.

b) $-\frac b{-2}=4$, więc $b=8$.

c) $-\frac b4=-1$, więc $b=4$.

d) $-\frac b{-1}=-6$, więc $b=-6$.

Korzystamy z warunku $x_w=-\frac b{2a}$, a potem obliczamy $y_w=f(x_w)$.

a) $-\frac4{2a}=2$, więc $a=-1$; $W=(2,1)$ i $f=-(x-2)^2+1$.

b) $-\frac6{2a}=1$, więc $a=-3$; $W=(1,5)$ i $f=-3(x-1)^2+5$.

c) $-\frac2{2a}=-4$, więc $a=\frac14$; $W=(-4,1)$ i $f=\frac14(x+4)^2+1$.

d) $-\frac{-6}{2a}=-\frac32$, więc $a=-2$; $W=\left(-\frac32,\frac72\right)$ i $f=-2\left(x+\frac32\right)^2+\frac72$.

Dla $a=1$ z warunku $x_w=-\frac b2$ mamy $b=-2x_w$. Następnie podstawiamy $W$ do $f$.

a) $b=-4$, a $4=4-8+c$, więc $c=8$.

b) $b=2$, a $-3=1-2+c$, więc $c=-2$.

c) $b=-1$, a $-1=\frac14-\frac12+c$, więc $c=-\frac34$.

d) $b=-20$, a $0=100-200+c$, więc $c=100$.

Ponieważ $x_w=-\frac6{2a}=-\frac3a$, z odciętej wierzchołka wyznaczamy $a$, a z jego rzędnej — $c$.

a) $a=3$, $c=5$, więc $f=3(x+1)^2+2$.

b) $a=-\frac12$, $c=-21$, więc $f=-\frac12(x-6)^2-3$.

c) $a=-\frac32$, $c=-2$, więc $f=-\frac32(x-2)^2+4$.

d) $a=2$, $c=\frac72$, więc $f=2\left(x+\frac32\right)^2-1$.