MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 294

Wartości skrajne odczytujemy z wierzchołka i zachowania funkcji przy końcach podanej dziedziny.

a) $f(4)=-8$, lecz $4\notin D$, a $f(0)=0$, więc $f(D)=(-8;0\rangle$.

b) $f(0)=0$, $f(-4)=4$ i oba argumenty należą do $D$, więc $f(D)=\langle0;4\rangle$.

c) $f(0)=0$, a przy $x\to2^-$ wartości dążą do $12$, więc $f(D)=\langle0;12)$.

d) Na $\langle1;2\rangle$ funkcja maleje od $-2$ do $-8$, zatem $f(D)=\langle-8;-2\rangle$.

Dla tej samej dodatniej wartości $y$ węższa parabola ma większy współczynnik $a$. Ze skanu od najwęższej do najszerszej występują krzywe $A,B,C,D,E$.

Dla $x=1$ odległość punktu $(1,a)$ od osi $OX$ wynosi $|a|$. W każdym podpunkcie wybieramy więc współczynnik o najmniejszej wartości bezwzględnej.

Najpierw obliczamy $a=\frac{y_1}{x_1^2}$, a następnie $|y_2|=|a|x_2^2$.

a) $a=\frac{-3/2}{9}=-\frac16$, zatem $|y_2|=\frac16\cdot4=\frac23$.

b) $a=\frac{20}{(-2\sqrt2)^2}=\frac{20}{8}=\frac52$, zatem $|y_2|=\frac52\cdot4=10$.

Punkty przecięcia mają współrzędne $(\pm t,4)$, więc $|AB|=2t$ i $4=at^2$. Stąd $a=\frac4{t^2}$.

a) $t=1$, więc $a=4$.

b) $t=4$, więc $a=\frac14$.

c) $t=\frac14$, więc $a=64$.

d) $t=\sqrt2$, więc $a=2$.

Podstawa $AB$ ma długość $2|x|$, a wysokość opuszczona z $O$ na prostą $y=3$ ma długość $3$. Zatem

$12=\frac12\cdot2|x|\cdot3=3|x|,$

więc $|x|=4$. Punkt $(4,3)$ leży na paraboli, toteż

$3=16a,\qquad a=\frac3{16}.$

a) Jeśli bok kwadratu ma długość $s$, to $x=s\sqrt2$, więc $s=\frac{x}{\sqrt2}$ i

$P(x)=s^2=\frac12x^2,\qquad x>0.$

b) Prostokąt złożony z dwóch kwadratów ma boki $s$ i $2s$. Jego przekątna spełnia $x=s\sqrt5$, zatem

$P(x)=2s^2=\frac25x^2,\qquad x>0.$