MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 29

Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek występujący w mianowniku, a następnie skracamy:

Usuwamy pierwiastek z mianownika, a następnie przyjmujemy $\sqrt2\approx1{,}4$:

a) $8/\sqrt2+1=4\sqrt2+1\approx6{,}6$.

b) $3/\sqrt2-3/2=\frac32(\sqrt2-1)\approx0{,}6$.

c) $5/4-5/(2\sqrt2)=\frac54(1-\sqrt2)\approx-0{,}5$.

Łączymy czynniki pod jednym pierwiastkiem i obliczamy: $\sqrt{36}=6,\ \sqrt{256}=16,\ \sqrt{400}=20,\ \sqrt{900}=30,$ $\sqrt{1764}=42,\ \sqrt{900}=30,\ \sqrt{14400}=120,\ \sqrt{14400}=120.$

Łączymy pierwiastki w liczniku i mianowniku oraz skracamy iloczyny pod pierwiastkiem:

a) $\sqrt{54\cdot350/21}=\sqrt{900}=30$.

b) $\sqrt{98\cdot375/80}=\sqrt{7350/16}=35\sqrt6/4$.

c) $\sqrt{52\cdot363/(30\cdot130)}=\sqrt{121/25}=11/5$.

d) $\sqrt{48\cdot162/(72\cdot135)}=\sqrt{4/5}=2\sqrt5/5$.

Rozmnażamy nawiasy i upraszczamy pierwiastki:

a) $2\sqrt3(\sqrt3+3\sqrt6)=6+18\sqrt2$.

b) $3\sqrt2(2\sqrt6-5\sqrt2)=12\sqrt3-30$.

c) $3\sqrt2-\sqrt6+\sqrt2/2-2\sqrt3/3=\frac72\sqrt2-\frac23\sqrt3-\sqrt6$.

d) $5\sqrt2+4\sqrt5-(3\sqrt5-2\sqrt5)/\sqrt5=5\sqrt2+4\sqrt5-1$.

Stosujemy wzór $P=(a+b)h/2$; opis Markdown zawiera wszystkie potrzebne długości.

a) $P=(\sqrt3+3\sqrt3)(\sqrt{75}/2)/2=15$.

b) $P=(2\sqrt3+4\sqrt2)(2\sqrt6)/2=6\sqrt2+8\sqrt3$.

c) $P=(\sqrt{50}+\sqrt{18})\sqrt8/2=16$.

Przeciwprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa, następnie $Ob=x+y+c$ i $P=xy/2$.

a) $c=5\sqrt2$, więc $Ob=12\sqrt2$, $P=12$.

b) $x=6\sqrt3$, $y=8\sqrt3$, $c=10\sqrt3$, więc $Ob=24\sqrt3$, $P=72$.

c) $c=3\sqrt{10}$, więc $Ob=5\sqrt{10}+5\sqrt2$, $P=10\sqrt5$.

Zaczynamy od trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $1$ i $1$; jego przeciwprostokątna ma długość $\sqrt2$. W kolejnym kroku na końcu otrzymanego odcinka prowadzimy prostopadłą długości $1$. Nowa przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{(\sqrt n)^2+1^2}=\sqrt{n+1}.$ Powtarzając konstrukcję, dochodzimy odpowiednio do odcinków $\sqrt{17}$ i $\sqrt{38}$. Każdy nowy odcinek jednostkowy odkładamy cyrklem, a prostopadłe konstruujemy linijką i cyrklem.