MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 28

Obliczamy osobno każdy pierwiastek:

a) $11+7-15=3$; b) $14-13-12=-11$; c) $0{,}5+1{,}2+2{,}5=4{,}2$; d) $1{,}9-1{,}1-0{,}3=0{,}5$; e) $9/20+3/10-8/5=-17/20$; f) $9/5-3/2+4/3=49/30$.

Obliczamy obie strony każdej rzekomej równości:

a) $\sqrt{25/16}=5/4$, natomiast $\sqrt1+\sqrt{9/16}=7/4$.

b) $\sqrt{9/4}=3/2$, natomiast $\sqrt2+1/2$ jest liczbą niewymierną, więc nie może być równe $3/2$.

c) Kwadraty stron wynoszą odpowiednio $37/9$ oraz $(2+1/3)^2=49/9$, więc strony nie są równe.

Ponieważ wszystkie wielkości są dodatnie, podnosimy nierówności do kwadratu.

a) $2<n^2<33$, co daje $n=2,3,4,5$.

b) $10<n^2<140$, co daje $n=4,5,6,7,8,9,10,11$.

c) $80<n^2<300$, co daje $n=9,10,11,12,13,14,15,16,17$.

Łączymy pierwiastki z iloczynów i ilorazów liczb nieujemnych:

a) $\sqrt{324}=18$, $\sqrt9=3$, $\sqrt{32{,}49}=5{,}7$.

b) $\sqrt{121/144}=11/12$, $\sqrt{361/400}=19/20$, $\sqrt{576/625}=24/25$.

c) $\sqrt{16}=4$, $\sqrt9=3$, $\sqrt{100}=10$.

d) $\sqrt{54/6}=3$, $\sqrt{3/12}=1/2$, $\sqrt{140/35}=2$.

Wyodrębniamy największy pełny kwadrat spod pierwiastka: $\sqrt{18}=3\sqrt2,\quad\sqrt{24}=2\sqrt6,\quad\sqrt{48}=4\sqrt3,$ $\sqrt{96}=4\sqrt6,\quad\sqrt{108}=6\sqrt3,\quad\sqrt{252}=6\sqrt7,$ $\sqrt{392}=14\sqrt2,\quad\sqrt{450}=15\sqrt2.$

Sprowadzamy każdy pierwiastek do wielokrotności $\sqrt2$ i redukujemy współczynniki:

a) $4\sqrt2+2\sqrt2=6\sqrt2$; b) $4\sqrt2-3\sqrt2=\sqrt2$; c) $3\sqrt2+7\sqrt2=10\sqrt2$; d) $10\sqrt2-5\sqrt2=5\sqrt2$; e) $(3+6+11)\sqrt2=20\sqrt2$; f) $(20+11-9)\sqrt2=22\sqrt2$.

Wyłączamy pełne kwadraty i łączymy wyrazy podobne:

a) $(7+2)\sqrt5=9\sqrt5$; b) $(4-3)\sqrt3=\sqrt3$; c) $(2+5)\sqrt3=7\sqrt3$; d) $(3-5)\sqrt5=-2\sqrt5$; e) $(1+4{,}8-1{,}2)\sqrt2=4{,}6\sqrt2$; f) $(6-1-30)\sqrt5=-25\sqrt5$.