MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 286

a) Połówki przekątnych prostokąta tworzą trójkąty równoramienne. Ten sam kąt $\alpha$ między przekątnymi wyznacza te same kąty przy podstawie, więc odpowiednie trójkąty w obu prostokątach są podobne. Wynikają z tego jednakowe proporcje obu par boków prostokątów. b) Z podobieństwa $x/(x+1)=y/(y+1)$. Po wymnożeniu $xy+x=xy+y$, czyli $x=y$.

a) Z $BD\parallel CE$ mamy $ABD\sim ACE$. Ponieważ $AC=2x+2$, $AE=2x+7$, zachodzi $x/(2x+2)=(x+2)/(2x+7)$, skąd $x=4$. Skala dużego trójkąta do małego to $10/4=5/2$, więc $CE=25/2$. b) Z $AB=5$, $AD=DC=3$ i $BD\perp AC$ mamy $BD=4$, $BC=5$. Pole $ABC$ wynosi $12$, więc z podstawy $BC=5$ dostajemy $AE=24/5$. Z podobieństwa trójkątów prostokątnych lub rzutu $EC=18/5$.

Obwody podobnych figur są w stosunku $5:8$. Oznaczając je $5t$ i $8t$, z sumy $13t=260$ dostajemy $t=20$.

Skale długości spełniają $F_1:F_2=1:2$ oraz $F_2:F_3=1:3$, więc skale pól dają $P_1:P_2:P_3=1:4:36$. Suma $41$ części jest równa $410$.

Oznaczmy środki ramion przez $P,Q$. W zapisie wektorowym $\overrightarrow{PQ}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$; oba składniki są równoległe do podstaw, więc $PQ$ również. Jeśli $E,F$ są środkami przekątnych, to $\overrightarrow{EF}=\frac12(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC})$, także równolegle do podstaw. Jest to równoważne zastosowaniu twierdzenia o odcinku łączącym środki boków w trójkątach powstałych po przedłużeniu ramion.

Odcinki łączące środki kolejnych boków są równoległe do przekątnych rombu i mają połowę ich długości. Przekątne rombu są prostopadłe, więc wszystkie kąty $A'B'C'D'$ są proste. Jeśli przekątne rombu mają $p,q$, nowy prostokąt ma boki $p/2,q/2$.

Niech $t=AP/AD$. Długość przekroju równoległego do podstaw zmienia się liniowo: $\sqrt{ab}=a+t(b-a)$. Po rozłożeniu $b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)$ otrzymujemy $t=\sqrt a/(\sqrt a+\sqrt b)$. Zatem $AP/PD=t/(1-t)=\sqrt{a/b}=a/\sqrt{ab}$. Ponadto $\sqrt{ab}/a=b/\sqrt{ab}$, a odpowiednie odcinki ramion mają ten sam stosunek z twierdzenia Talesa.