MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 285

Suma miar kątów trójkąta to $180^\circ$. Dzielimy ją przez sumę liczb w każdym stosunku i mnożymy przez kolejne składniki.

Dla wybranego boku kąt między nim a wysokością z jednego końca jest dopełnieniem do $90^\circ$ kąta przy drugim końcu. Z danych $40^\circ$ i $20^\circ$ dostajemy dwa kąty trójkąta $50^\circ$ i $70^\circ$; trzeci wynosi $60^\circ$.

Porządkujemy boki rosnąco i porównujemy ilorazy. a) wszystkie ilorazy wynoszą $4/3$. b) po uporządkowaniu drugi trójkąt to $3,6,7{,}5$, czyli $3/4$ pierwszego. c) trzeci iloraz to $2{,}8/1{,}8$, inny niż $1{,}5$. d) po uporządkowaniu ilorazy wynoszą $0{,}3$.

Obwód $T_1$ wynosi $14$. a) Skala do trójkąta o obwodzie $35$ to $35/14=5/2$. b) Wysokość do podstawy $4$ ma $\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21}$, więc pole $T_1$ wynosi $2\sqrt{21}$. Stosunek pól to $2$, a skala długości $\sqrt2$.

Ponieważ $CP/CA=CQ/CB=1/5$, odcinek $PQ$ jest równoległy do $AB$, a $CPQ\sim CAB$ w skali $1/5$. Długości mnożą się przez $1/5$, a pola przez $1/25$.

Niech bok kwadratu ma długość $s$. Mały trójkąt przy $B$ jest podobny do całego: równoważnie wysokość przeciwprostokątnej nad punktem odległym o $s$ od obu przyprostokątnych daje zależność $s/10+s/15=1$. Stąd $s=10\cdot15/(10+15)=6$.

Dla każdej dwusiecznej dzielimy bok przeciwległy w stosunku długości dwóch pozostałych boków. Bok $8$ dzieli się w stosunku $4:6$, bok $4$ w stosunku $6:8$, a bok $6$ w stosunku $4:8$.

W kwadratach $DC=CB$ oraz $CE=CG$. Ponieważ $DC\perp CB$ i $CE\perp CG$, kąty $DCE$ i $BCG$ są równe. Trójkąty $DCE$ i $BCG$ są więc przystające z cechy BKB, a figury przystające mają równe pola.

Trójkąt odcięty równoległym płotem jest podobny do całej działki. Skoro ma połowę pola, skala liniowa wynosi $1/\sqrt2$. Jego obwód to $160/\sqrt2=80\sqrt2$. Obwód trapezowej części tworzą bok $40$, płot $20\sqrt2$ i dwie pozostałe części ramion po $60(1-1/\sqrt2)$.