MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 281

Dwusieczna kąta $C$ dzieli bok $AB=c$ w stosunku $BC:CA=a:b$. Długości części to zatem $ac/(a+b)$ oraz $bc/(a+b)$.

Przy przeciwprostokątnej $\sqrt2$ przyprostokątne mają długość $1$. Z twierdzenia o dwusiecznej $AP:PC=AB:BC=\sqrt2:1$, więc $AP=2-\sqrt2$, $PC=\sqrt2-1$. Z Pitagorasa w $BCP$ mamy $BP=\sqrt{1+(\sqrt2-1)^2}=\sqrt{4-2\sqrt2}$.

Jeżeli $AD=y$ i $DB=x$, to twierdzenie o dwusiecznej daje $x/y=a/b$, a ponadto $x+y=c$. Z proporcji $x:y=a:b$ dostajemy $x=at$, $y=bt$; stąd $(a+b)t=c$.

Pierwsza równość pól wynika z użycia wspólnej wysokości $CG$ do podstaw $DB$ i $AD$. Równość $DE=DF$ wynika z tego, że punkt dwusiecznej jest równo odległy od ramion kąta. Następnie w polach trójkątów $DBC$ i $ADC$ bierzemy podstawy $BC,AC$ i równe wysokości $DF,DE$.

Trójkąty $A'CP$ i $BCP$ są prostokątne w $P$, mają wspólny bok $CP$ i równe kąty przy $C$, bo $CD$ jest dwusieczną. Z cechy KBK są przystające, więc $A'P=PB$ oraz $A'C=BC=a$. Dalej $\angle A'PD'=\angle BPD=90^\circ$, a z $A'D'\parallel AD$ i współliniowości $A,D,B$ wynika $\angle PA'D'=\angle PBD$. Wraz z $A'P=PB$ daje to $A'D'P\equiv BDP$ z cechy KBK, zatem $A'D'=DB=x$. Z równoległości $A'D'\parallel AD$ mamy też $A'D'C\sim ADC$, więc $x/y=A'C/AC=a/b$.