MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 278

Z $P_2/P_1=1{,}44$ wynika skala $P_2$ do $P_1$ równa $1{,}2$. Z $P_3/P_1=2{,}25$ wynika skala $1{,}5$, więc $P_3$ jest $1{,}5/1{,}2=1{,}25$ raza większy liniowo od $P_2$.

Jeśli długość wspólnego odcinka to $x$, podobieństwo dwóch trapezów wymaga $x/4=9/x$, więc $x=6$. Ich skala wynosi $3/2$, zatem wysokości w sumie $5$ mają długości $2$ i $3$.

Wysokość całej działki spełnia $1025=(32+50)h/2$, więc $h=25$. Wspólna podstawa podobnych trapezów ma długość $\sqrt{32\cdot50}=40$. Skala dolnego do górnego wynosi $50/40=5/4$, więc wysokości także są w stosunku $5:4$ i wynoszą $125/9$ oraz $100/9$.

Pola trójkątów $ADC$ i $BCD$ przy tej samej wysokości $CD$ są w stosunku $AD:DB=4:1$. Zatem $AD=12$, $DB=3$. Twierdzenie o rzucie przyprostokątnej daje $AC=\sqrt{15\cdot12}=6\sqrt5$ i $BC=\sqrt{15\cdot3}=3\sqrt5$.

Trójkąty przy podstawach są podobne. Stosunek ich pól $9:4$ daje stosunek długości, w tym podstaw i odpowiadających wysokości, równy $3:2$. Odległości sumują się do wysokości trapezu $10$.

Niech pola dwóch trójkątów bocznych będą $T$; są równe, bo trójkąty o wspólnej przekątnej i podstawach trapezu prowadzą po odjęciu wspólnej części do równych pól. Z podobieństwa trójkątów przy podstawach oraz proporcji ich wysokości wynika $T^2=S_1S_2$, zatem $T=\sqrt{S_1S_2}$. Pole trapezu to $S_1+S_2+2T$.

Pomiar obu przekątnych sprawdza, czy wytyczony równoległobok jest prostokątem: w prostokącie przekątne są równe. a) Wymiary rzeczywiste to $6$ m i $9$ m, więc przekątna ma $\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}$ m. b) Fundament tworzy prostokątną ramę: pole jej poziomego przekroju to $6\cdot9-(6-1)(9-1)=14\ \text{m}^2$. Mnożymy przez głębokość $0{,}5$ m.