MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 277

Stosunek odpowiednich boków daje skalę $P_2$ do $P_1$, a pole mnożymy przez $k^2$. a) $k=12/16=3/4$. b) $k=30/18=5/3$.

Obwód pierwszego prostokąta wynosi $36$ cm. Skala większego do niego to $60/36=5/3$, więc jego boki mają $10$ i $20$ cm.

a) Pole $T_2$ wynosi $45(2/3)^2=20$. Przy przyprostokątnej $10$ druga ma długość $4$, a przeciwprostokątna $2\sqrt{29}$. b) Pole $R_1$ to $648/9=72$. Z wzoru $P=d_1d_2/2$ druga przekątna $R_1$ ma $24$. Bok rombu ma $\sqrt{3^2+12^2}=3\sqrt{17}$; w $R_2$ jest trzykrotnie dłuższy.

Niech kąt między bokami $4$ i $6$ ma miarę $\alpha$. Prostopadłość przekątnej do krótszego boku daje $6\cos\alpha=4$, więc $\sin\alpha=\sqrt5/3$. Pole $R_1$ wynosi $4\cdot6\sin\alpha=8\sqrt5$. Stosunek pól to $25$, zatem skala długości wynosi $5$; boki $R_2$ mają $20$ i $30$.

a) Pola są w stosunku $4^2=16$. Jeśli mniejsze pole to $S$, mamy $17S=340$. b) Pola są w stosunku $1:9$, więc wynoszą $18$ i $162$. W trójkącie prostokątnym równoramiennym $P=a^2/2$, stąd przyprostokątne mają $6$ i $18$.

Pole wyjściowego deltoidu to $15\cdot10/2=75\ \text{cm}^2$. Czterokrotne zwiększenie wymiarów mnoży pole przez $4^2=16$.

Z $F_1:F_2=3:4$ oraz $P_2/P_3=4/9$ wynika skala długości $F_2:F_3=2:3$. Stąd $F_1:F_3=(3/4)(2/3)=1/2$.