MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 274

Ponieważ $P,Q$ są środkami boków $BC,AC$, odcinek $PQ$ jest środkowy: $PQ\parallel AB$ i $PQ=AB/2$. Kąty wierzchołkowe przy $O$ oraz kąty naprzemianległe dają $ABO\sim PQO$. Skala dużego trójkąta do małego wynosi $2$, więc $AO:OP=BO:OQ=2:1$. Analogiczne rozumowanie dla środkowych $AP,CR$ wyznacza na $AP$ ten sam jedyny punkt podziału w stosunku $2:1$; zatem trzecia środkowa przechodzi przez $O$.

Z równoległości wynika, że $ABCB_1$ i $AC_1BC$ są równoległobokami, a analogicznie pozostałe pary boków zewnętrznego trójkąta są równe. Stąd $A,B,C$ są środkami boków trójkąta $A_1B_1C_1$. Wysokość z $A$ jest prostopadła do $BC$, czyli do równoległego boku $A_1B_1$, i przechodzi przez jego środek; jest więc jego symetralną. Tak samo pozostałe dwie wysokości są symetralnymi pozostałych boków.