MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 273

Cień drzewa ma długość $22{,}5+4{,}5=27$ m. Trójkąty utworzone przez wysokości i cienie są podobne, więc $H/27=1{,}8/4{,}5$.

Trójkąty $FEN$ i $FDM$ są prostokątne odpowiednio w $N$ i $M$. Mają też ten sam kąt przy $F$, ponieważ $FN$ leży na $FD$, a $FM$ na $FE$. Dwie pary kątów są więc równe.

Odcinki łączące środki boków są równoległe do trzecich boków i mają połowę ich długości. Dlatego boki $EFG$ są odpowiednio połowami boków $ABC$, co daje podobieństwo BBB w skali $1/2$. Każdy z czterech małych trójkątów ma zestaw boków $AB/2,BC/2,CA/2$, więc są przystające z cechy BBB.

Załóżmy $c/c'=a/a'=k$. Z twierdzenia Pitagorasa $b^2=c^2-a^2=k^2(c'^2-a'^2)=k^2b'^2$, więc $b/b'=k$. Wszystkie trzy pary boków są proporcjonalne; analogicznie postępujemy, gdy w założeniu występuje para $b,b'$.

a) Kąty $AOB$ i $COD$ są wierzchołkowe, a pozostałe odpowiednie kąty są naprzemianległe, bo $AB\parallel CD$; zachodzi KKK. b) Wysokości trójkątów przy podstawach są w stosunku $8:4=2:1$ i sumują się do $6$, zatem wynoszą $4$ i $2$.

a) Trójkąty $ABD$ i $ABC$ mają tę samą podstawę $AB$ i wysokość trapezu, więc mają równe pola. Po odjęciu wspólnego pola $AOB$ dostajemy $P_{AOD}=P_{BOC}$. b) Odległości od podstaw, a więc i długości podstaw, są w stosunku $5:3$. Krótsza podstawa ma zatem $6$ cm. Pola trójkątów przy podstawach wynoszą $25$ i $9$; pole trapezu to $64$, więc dwa pozostałe równe pola mają po $(64-34)/2$.