MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 272

a) Z $8^2+BE^2=10^2$ mamy $BE=6$. Trójkąty $ABE$ i $ACD$ są podobne, a ich skala wynosi $CD/BE=7{,}5/6=5/4$. Stąd $AC=10$, $AD=12{,}5$, więc $x=2,y=2{,}5$. b) $AB=\sqrt{12^2+9^2}=15$, zatem $AC=20$. Odpowiadające przyprostokątne spełniają $CD/BE=AC/AE=20/12=5/3$, dlatego $x=15$, a $AD/AB=5/3$ daje $12+y=25$.

a) Trójkąty $AED$ i $ABC$ są podobne w skali $AB/AE=18/12=3/2$. Stąd $AC=22{,}5$ i $BC=12$. b) Skala dużego trójkąta do małego wynosi $5/4$. Z $AC=AD+1{,}5$ oraz $AC=(5/4)AD$ dostajemy $AD=6$, $AC=7{,}5$, a $BC=25/4$.

a) Pierwszy trójkąt ma przeciwprostokątną $20$ i obwód $48$. Trójkąt o obwodzie $6$ jest ośmiokrotnie mniejszy, więc jego przeciwprostokątna ma $20/8$. b) Trójkąt o przyprostokątnych $12$ i $3{,}5$ ma przeciwprostokątną $12{,}5$ oraz obwód $28$. Trójkąt z przeciwprostokątną $100$ jest ośmiokrotnym powiększeniem.

W trójkącie $DEC$ z Pitagorasa $EC=\sqrt{10^2-(2\sqrt5)^2}=4\sqrt5$. Zatem $BC=6\sqrt5$. W trójkącie $ABC$ otrzymujemy $AC=\sqrt{15^2-(6\sqrt5)^2}=3\sqrt5$. Stosunki $AB/DE=BC/EC=AC/DC=3/2$, więc trójkąty są podobne z cechy BBB.

a) Każdy z małych trójkątów jest prostokątny i ma z dużym trójkątem wspólny kąt ostry, więc podobieństwo wynika z KKK. b) Przeciwprostokątna ma długość $5$. Z twierdzenia o rzucie przyprostokątnej odcinki mają długości $3^2/5$ i $4^2/5$.

Jeżeli odcinki przeciwprostokątnej mają długości $p=2$ i $q=8$, to wysokość spełnia $h^2=pq$, czyli $h=4$. Przeciwprostokątna ma długość $10$, więc $P=10\cdot4/2$.