MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 269

a) Połówki przekątnych mniejszego rombu mają $6$ i $8$, więc bok ma $10$, a obwód $40$. Skala $5/2$ daje obwód większego $100$. b) Połówki przekątnych $10$ i $24$ mają $5$ i $12$, zatem bok $13$ i obwód $52$. Drugi obwód to $78$, więc skala większego do mniejszego wynosi $78/52=3/2$.

W trapezie $ABCD$ bok $BC$ ma długość $\sqrt{(5-2)^2+4^2}=5$, więc boki to $5,5,2,4$, a obwód $16$. Podobny trapez ma obwód $24$, zatem skala wynosi $3/2$. Mnożymy każdy bok przez tę skalę.

Wysokość na przeciwprostokątną pierwszego trójkąta spełnia $15h=9\cdot12$, więc $h=7{,}2$ cm. Skala drugiego do pierwszego to $25/24$, zatem $h'=7{,}2\cdot25/24=7{,}5$ cm. Obwody wynoszą $36$ cm i $36\cdot25/24=37{,}5$ cm, razem $73{,}5$ cm.

Kwadrat o przekątnej $d$ ma bok $d/\sqrt2$, więc obwód $2\sqrt2d$. Suma obwodów dwóch kwadratów jest zatem $2\sqrt2(d_1+d_2)=2\sqrt2\cdot2=4\sqrt2$.

Przekątne prostokąta tworzą kąt $60^\circ$, więc każda tworzy z dłuższym bokiem kąt $30^\circ$. Przy wysokości $8$ mamy $\tan30^\circ=8/a$, stąd $a=8\sqrt3$. Obwód $ABCD$ to $16+16\sqrt3$. Drugi obwód $20+20\sqrt3$ jest $5/4$ razy większy.

Ponieważ $x>4$, dłuższemu bokowi $x$ odpowiada $x+5$, a krótszemu $4$ odpowiada $6$. Z podobieństwa $x/4=(x+5)/6$, więc $x=10$. Obwody to $2(10+4)=28$ i $2(6+15)=42$, a ich suma $70$.

Oznaczmy $\varphi=(1+\sqrt5)/2$. Prostokąt wyjściowy ma boki $\varphi$ i $1$, a pozostały po odcięciu kwadratu boki $1$ i $\varphi-1$. Ponieważ $\varphi^2=\varphi+1$, mamy $\varphi=1/(\varphi-1)$. Stosunki dłuższego boku do krótszego są więc równe, a prostokąty podobne.

Po złożeniu dłuższego boku na pół powstaje podobny prostokąt, więc jeśli stosunek boków wynosi $r$, to $r=2/r$ i $r=\sqrt2$. Dla krótszego boku $21$ cm dłuższy ma $21\sqrt2\approx29{,}7$ cm. Po kolejnych złożeniach krótszy wymiar jest dzielony przez $2$.