MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 268

a) Kwadrat $K_2$ o przekątnej $8\sqrt2$ ma bok $8$, więc skala $K_1$ do $K_2$ wynosi $5/8$. b) Obwód $40$ daje bok $10$, więc skala wynosi $5/10=1/2$.

Niech długość odcinka podziału będzie $x$. Aby dwa powstałe trapezy były podobne po odwróceniu, musi zachodzić $x/4=9/x$. Stąd $x=6$, a stosunek mniejszego trapezu do większego wynosi $4/6=6/9=2/3$.

Obwód prostokąta $P$ wynosi $2(12+8)=40$ cm. a) Skala $P'$ do $P$ równa $3$ mnoży obwód przez $3$, dając $120$ cm. b) Skala $P$ do $P'$ równa $2$ oznacza, że obwód $P'$ jest dwa razy mniejszy, czyli $20$ cm.

a) Z $A'B'/AB=12/10$ otrzymujemy $k=1{,}2$. Mnożymy boki figury nieprimowanej przez $1{,}2$ lub dzielimy primowane: $CD=5{,}4/1{,}2=4{,}5$, $A'D'=1{,}2\cdot6{,}5=7{,}8$, $B'C'=1{,}2\cdot6=7{,}2$. b) Skala większej do mniejszej to $7{,}5/3=2{,}5$; stąd $CD=5$, $A'B'=5$, $A'D'=2{,}4$.

W obu prostokątach wszystkie odpowiednie kąty mają $90^\circ$. Jeśli stosunek długości do szerokości jest wspólny, to po dobraniu dłuższego boku do dłuższego mamy $a/a'=b/b'$. Odpowiednie boki są więc proporcjonalne, a odpowiednie kąty równe, czyli prostokąty są podobne.

Krótsza przekątna wraz z bokiem długości $6$ i bokiem $12$ tworzy trójkąt prostokątny, więc ma długość $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3$. W drugiej figurze przekątna ma $9\sqrt3$, zatem skala wynosi $3/2$. Boki drugiej figury to $9$ i $18$, więc obwód $54$. Kąt między bokami pierwszej figury ma $60^\circ$; jej wysokości to $3\sqrt3$ i $6\sqrt3$, a po przeskalowaniu $\frac92\sqrt3$ i $9\sqrt3$.