MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 264

a) Stosunek odpowiadających odcinków między prostymi równoległymi wynosi $4{,}8/3{,}6=4/3$. Zatem $x/4{,}5=4/3$ i $3{,}2/y=4/3$, skąd $x=6$, $y=2{,}4$. b) Dla prostych $l,m$ mamy $x/15=16/24$, więc $x=10$. Dla $k,l$ zachodzi $7{,}5/15=y/24$, więc $y=12$.

Na ramieniu $AD$ punkty dzielą odcinek $9$ cm na części $AP=4$, $PQ=3$, $QD=2$. Proste równoległe przenoszą te proporcje na $BC$ długości $12$, czyli mnożymy przez $12/9=4/3$.

Korzystamy z konstrukcji czwartej proporcjonalnej. Aby uzyskać $a^2$, konstruujemy $x$ z proporcji $1:a=a:x$. Następnie dla $a^3$ konstruujemy $y$ z $1:a=a^2:y$. Obie proporcje realizujemy na ramionach kąta za pomocą prostej równoległej.

Najpierw konstruujemy odcinek $\sqrt2$ jako przekątną kwadratu o boku $1$. Następnie na pomocniczej półprostej odmierzamy kolejno odcinki długości $1$ i $\sqrt2$; równoległą przenosimy ten podział na dany odcinek zgodnie z twierdzeniem Talesa.

a) Dla prostych $k,m$ stosunki odległości od wspólnego wierzchołka są równe: $6/15=9/22{,}5=2/5$, więc $k\parallel m$. Pozostałe pary nie dają równych proporcji. b) Po przeciwnych stronach punktu przecięcia mamy $12/8=15{,}6/10{,}4=3/2$, więc $l\parallel m$; inne pary odpadają.

Niech $D$ i $E$ będą środkami $BC$ i $AC$. Wtedy $CD/CB=CE/CA=1/2$. Na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa odcinek $DE$ jest równoległy do trzeciego boku $AB$.