MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 261

a) $AP=PB$, $AD=BC$, a kąty $PAD$ i $PBC$ są proste. Trójkąty $APD$ i $BPC$ są więc przystające z cechy BKB. b) Dla punktu przecięcia $O$ przekątnych równoległoboku rozpatrujemy $AOB$ i $COD$. Mamy $AB=CD$ oraz dwie pary kątów naprzemianległych, więc trójkąty są przystające (KBK), skąd $AO=OC$ i $BO=OD$.

Niech bok trójkąta równobocznego ma długość $s$, a $AD=BE=CF=t$. Wtedy $DB=EC=FA=s-t$. Trójkąty $ADF$, $BED$ i $CFE$ mają po dwa boki długości $t,s-t$ oraz zawarty kąt $60^\circ$, więc są przystające. Ich trzecie boki $DF,DE,EF$ są równe.

Z symetrii trójkąta prostokątnego równoramiennego mediany $AP$ i $BQ$ mają równe długości. Punkt ciężkości dzieli je w stosunku $2:1$, więc $AO=BO$ i $OQ=OP$. Ponadto $AQ=BP$, bo są połowami równych przyprostokątnych. Trójkąty $AOQ$ i $BOP$ są przystające BBB.

Z warunków podziału boków otrzymujemy $AP=CQ=\frac23s$ oraz $BP=BQ=\frac13s$. Trójkąty $ABQ$ i $CBP$ są przystające BKB, więc $AQ=CP$ i odpowiednie kąty przy $A,C$ są równe. W trójkątach $APS$ i $CQS$ mamy ponadto kąty wierzchołkowe przy $S$ i $AP=CQ$, zatem są przystające z cechy KBK.

Trójkąty $ABD$ i $CBD$ mają trzy pary równych boków: $AB=CB$, $AD=CD$ oraz wspólny $BD$, więc są przystające. Stąd $BD$ dzieli na połowy kąty przy $B$ i $D$. Następnie $AOB$ i $COB$ są przystające BKB, podobnie $AOD$ i $COD$.

Trójkąty prostokątne $BSP$ i $ASQ$ mają $SB=SA$, bo $S$ jest środkiem boku prostokąta, oraz równe kąty odbicia przy $S$. Są więc przystające, zatem $BP=AQ$. Ponieważ $BC=AD$, po odjęciu równych odcinków mamy $PC=BC-BP=AD-AQ=QD$.

Niech wysokość z wierzchołka $C$ przecina podstawę w $D$. Trójkąty $ACD$ i $BCD$ mają wspólny bok $CD$, równe kąty proste przy $D$ i równe kąty przy $C$, bo wysokość leży na dwusiecznej. Są przystające z cechy KBK, więc $AC=BC$.

Z równości $\angle EFB=\angle FEB$ wynika $EB=FB$. Ponieważ $AE=CF$, mamy $AB=CB$. Trójkąty $BAF$ i $BCE$ mają $BA=BC$, $BF=BE$ i wspólny kąt przy $B$, więc są przystające. Odpowiednie kąty oraz kąty wierzchołkowe przy $D$, wraz z $AE=CF$, dają przystawanie $ADE$ i $CDF$, a stąd $DE=DF$.