Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 26

rozdział 1. Liczby rzeczywiste · temat „Długość okręgu. Liczba $\pi$” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Dla $n$ -kąta połowa obwodu jest równa $ns/2$ , gdzie $s$ oznacza długość boku. Obliczamy wartości z podanych wzorów i zaokrąglamy do czterech miejsc:

wielokąt	bok $s$	połowa obwodu
kwadrat	$1{,}4142$	$2{,}8284$
8-kąt	$0{,}7654$	$3{,}0615$
16-kąt	$0{,}3902$	$3{,}1214$
32-kąt	$0{,}1960$	$3{,}1365$
64-kąt	$0{,}0981$	$3{,}1403$

Różnice od $\pi\approx3{,}1416$ są mniejsze niż $0{,}01$ dopiero dla dwóch ostatnich wielokątów.

Odpowiedź

Boki i połowy obwodów podano w tabeli. Warunek błędu mniejszego niż $0{,}01$ spełniają 32-kąt i 64-kąt foremny.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przykładowe inne wzory to:

iloczyn Viète’a

\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots;$$ - **wzór Machina** $$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239};$$ - szybko zbieżny **szereg Ramanujana**

\frac1\pi=\frac{2\sqrt2}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4,396^{4k}}.

Wzór Machina pozwala użyć szeregu na arcus tangens dla małych argumentów, a szereg Ramanujana daje wiele poprawnych cyfr już po kilku wyrazach.

Odpowiedź

Przykładami są iloczyn Viète’a, wzór Machina i szereg Ramanujana zapisane powyżej.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu