MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 25

Dla okresu dwucyfrowego mnożymy liczbę przez $100$ i odejmujemy liczbę wyjściową; dla okresu jednocyfrowego mnożymy przez $10$. Po skróceniu otrzymujemy: $0,(36)=\frac{36}{99}=\frac4{11},$ $3,(72)=\frac{369}{99}=\frac{41}{11},\qquad-6,(24)=\frac{-618}{99}=-\frac{206}{33},$

Z definicji rozwinięcia okresowego: $x=0,(6)=\frac23,\qquad y=4,(36)=4+\frac{36}{99}=\frac{48}{11}.$ Następnie: $x+y=\frac{166}{33}=5\frac1{33},$ $x^2-y=\frac49-\frac{48}{11}=-\frac{388}{99}=-3\frac{91}{99},$

Okres ma postać $1,x,2,y,3$ i długość $5$. Na miejscu $22$ znajduje się $x$, na $23$ — cyfra $2$, a na $24$ — $y$. Warunki dają $2=2x$ oraz $y=3\cdot2$.

a) Kolejne bloki to jedna jedynka i zero, dwie jedynki i zero, trzy jedynki i zero itd. Po zapisanym bloku czterech jedynek i zera następuje blok pięciu jedynek i zera, czyli cyfry $111110$. Długości bloków jedynek rosną bez ograniczenia, więc rozwinięcie nie staje się okresowe.

b) Po przecinku zapisano kolejno liczby naturalne $1,2,3,\ldots$. Po liczbach $1$–$19$ wykorzystano $9+10\cdot2=29$ cyfr. Liczba $20$ zajmuje miejsca $30$ i $31$, więc na miejscu $31$ jest $0$. To rozwinięcie również nie jest okresowe.

Każdy kolejny ułamek powstaje przez dodanie licznika i mianownika oraz zamianę poprzedniego licznika w nowy mianownik: $\frac54,\frac95,\frac{14}9,\frac{23}{14},\frac{37}{23},\frac{60}{37},\frac{97}{60},\frac{157}{97}.$ Porównując wartości z $\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}6180$, błędy mniejsze niż $0{,}005$ otrzymujemy dla trzech ostatnich ułamków.