MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 256

a) Z równoległości $AB\parallel CD$ kąty naprzemianległe dają $\alpha=30^\circ$ i $\gamma=50^\circ$. Kąt wewnętrzny przy przecięciu przekątnych ma $100^\circ$, więc przyległy $\beta=80^\circ$. b) $\alpha$ jest wierzchołkowy z kątem $52^\circ$. Ponieważ $AC=BC$, mamy $\beta=\alpha=52^\circ$, a z sumy kątów $\gamma=76^\circ$.

Stosujemy sumę kątów kolejno w małych trójkątach. W $AEF$ otrzymujemy $\angle AEF=180^\circ-27^\circ-88^\circ=65^\circ$, a w $ABF$: $\angle AFB=65^\circ$. W $EFD$ mamy $\angle EFD=82^\circ$, a w $BFC$: $\angle BCF=26^\circ$. Suma kątów wokół $F$ daje $\angle DFC=36^\circ$, po czym w $DFC$ $\angle CDF=74^\circ$.

Kąty przyległe mają sumę $180^\circ$. Jeśli ich stosunek wynosi $1:4$, oznaczamy je $x$ i $4x$. Z równania $5x=180^\circ$ otrzymujemy $x=36^\circ$.

Niech miary kątów przyległych będą $\alpha$ i $\beta$. Mamy $\alpha+\beta=180^\circ$. Kąt między ich dwusiecznymi ma miarę $\alpha/2+\beta/2=(\alpha+\beta)/2=90^\circ$, więc dwusieczne są prostopadłe.

Kąty wewnętrzne mają postać $x,2x,6x$. Z $9x=180^\circ$ dostajemy $20^\circ,40^\circ,120^\circ$. Każdy kąt zewnętrzny jest dopełnieniem właściwego wewnętrznego do $180^\circ$.

Jeśli trzeci kąt wewnętrzny ma miarę $\delta$, to $\alpha+\beta+\delta=180^\circ$. Kąt zewnętrzny $\gamma$ jest z nim przyległy, więc $\gamma=180^\circ-\delta=\alpha+\beta$.

Prowadzimy przekątną czworokąta, dzieląc go na dwa trójkąty. Suma ich sześciu kątów wynosi $2\cdot180^\circ=360^\circ$; kąty przy przekątnej składają się parami na cztery kąty czworokąta.

Przekątne z jednego wierzchołka dzielą wypukły $n$-kąt na $n-2$ trójkąty. Suma jego kątów wynosi więc $(n-2)\cdot180^\circ$. Dla $n=5$ i $n=6$ otrzymujemy odpowiednio $540^\circ$ i $720^\circ$.

Rozwiązujemy $(n-2)\cdot180^\circ=1440^\circ$. Stąd $n-2=8$ i $n=10$.

Kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego ma $108^\circ$, a każdy kąt środkowy $72^\circ$. Dwa skrajne trójkąty utworzone przekątnymi są równoramienne i mają kąty $36^\circ,36^\circ,108^\circ$; trójkąt środkowy ma kąty $36^\circ,72^\circ,72^\circ$.