MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 252

Prostopadłość do prostej o współczynniku $\sqrt3$ daje $a=-1/\sqrt3=-\frac{\sqrt3}{3}$. Z warunku przejścia przez $P(\sqrt3,7)$ mamy $7=-1+b$, więc $b=8$. Liczba $a+b=8-\frac{\sqrt3}{3}\approx7{,}4226$, zatem kod tworzą cyfry 742.

W równoległoboku $D=A+C-B=(5,-5)$. Prosta $CD$ jest równoległa do $AB$, ma więc współczynnik $3$, a jej przecięcie z osią $OX$ spełnia $0=3x-14$, czyli $x_0=\frac{14}{3}=4{,}666\ldots$. Kod tworzą cyfry 466.

Z pierwszego równania układu mamy $y=2x-m+170$. Po podstawieniu do drugiego (dla $m\ne0$) dostajemy $x=m-240$ oraz $y=m-310$. Obie liczby są dodatnie, gdy $m>310$, więc najmniejszą całkowitą wartością jest $311$.

Wyznaczamy wierzchołki trójkąta: $(0,-3)$, $(0,-5)$ i $(3,4)$. Dla kolejnych całkowitych odciętych $x=0,1,2,3$ zliczamy punkty kratowe leżące na brzegu lub wewnątrz figury; łącznie jest ich $n=19$. Zatem $n^2=361$.

W punkcie przecięcia zachodzi $(m^2+2)x=-(n^2+1)x-2$, więc $x=-\frac{2}{m^2+n^2+3}<0.$ Po podstawieniu do pierwszej prostej $y=(m^2+2)x=-\frac{2(m^2+2)}{m^2+n^2+3}<0.$ Punkt przecięcia ma zatem obie współrzędne ujemne.

Jeśli $x$ i $y$ są wymierne oraz $y=\sqrt6x-1$, to $\sqrt6x=y+1$ jest wymierne. Dla niezerowego wymiernego $x$ wynikałaby stąd wymierność $\sqrt6$, co jest niemożliwe. Zatem $x=0$ i $y=-1$; ten punkt rzeczywiście spełnia równanie.

Ze skanu odczytujemy $k:y=\frac12x+2$ oraz $l:y=-\frac13x-\frac43$; przecinają się w $A=(-4,0)$, a $P=(2,-2)$ leży na $l$. Trzeci bok przez $P$ może być prostopadły do $k$ albo do $l$. W pierwszym przypadku ma równanie $y=-2x+2$ i przecina $k$ w $(0,2)$; pole wynosi $10$. W drugim ma równanie $y=3x-8$ i przecina $k$ w $(4,4)$; pole wynosi $20$.