MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 251

Miejsce zerowe $6$ spełnia $0=\frac23\cdot6+c$, zatem $c=-4$.

Prosta $y=\frac12x+3$ przecina osie w $(0,3)$ i $(-6,0)$. Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ i $6$ wynosi $\frac12\cdot3\cdot6=9$.

Pierwszą prostą upraszczamy do $y=\frac53x+\text{const}$, więc ma współczynnik $\frac53$. Druga ma współczynnik $-\frac35$. Iloczyn wynosi $-1$, zatem proste są prostopadłe.

Prosta $l:y=\frac12x+2$ przecina $OX$ w punkcie $(-4,0)$. Prosta prostopadła ma współczynnik $-2$, więc przez ten punkt ma równanie $y=-2(x+4)=-2x-8$.

Funkcja jest malejąca, gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny: $\frac32m+9<0$. Stąd $m<-6$, a największą całkowitą wartością jest $-7$.

Obliczamy współczynniki kierunkowe trzech boków. Dwa kolejne mają wartości $-\frac32$ oraz $\frac23$, których iloczyn wynosi $-1$. Wspólny wierzchołek tych boków jest więc kątem prostym.

W równoległoboku $D=A+C-B$, skąd $D=(-4,3)$. Prosta $AD$ ma współczynnik $-2$ i równanie $y=-2x-5$, a prosta $CD$ współczynnik $\frac14$ i równanie $y=\frac14x+4$.

Niech trzeci wierzchołek na prostej $x=-3$ będzie równy $C=(-3,c)$. Wierzchołek kąta prostego to $B=(3,4)$, zatem $\overrightarrow{BA}=(-6,-9)$ i $\overrightarrow{BC}=(-6,c-4)$. Warunek iloczynu skalarnego równego zeru daje $36-9(c-4)=0$, więc $c=8$. Przeciwprostokątna $AC$ ma długość $13$, a odległość $B$ od $x=-3$ wynosi $6$, zatem pole to $\frac12\cdot13\cdot6=39$.

Pierwsza prosta przecina osie w $(-3,0)$ i $(0,5)$, druga w $(4,0)$ i $(0,-6)$. Ustawiamy te cztery punkty w kolejności na obwodzie i stosujemy wzór Gaussa; moduł połowy różnicy sum iloczynów wynosi $38{,}5$.

Bok $PS$ ma wektor $(2,4)$. Jeśli $R=(r,0)$, to $\overrightarrow{SR}=(r+1,-4)$ jest do niego prostopadły, więc $2(r+1)-16=0$ i $r=7$. Przekątne prostokąta dzielą się na połowy; środek $PR$, gdzie $P=(-3,0)$ i $R=(7,0)$, to $(2,0)$.