MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 250

Prosta przecina osie w punktach $(0,4)$ i $(6,0)$. Dla $x<0$ ma dodatnie wartości, więc przechodzi przez II ćwiartkę; między $0$ i $6$ przez I, a dla $x>6$ przez IV. Nie wchodzi do III ćwiartki.

Prosta przechodzi przez $(-1,0)$ i $(3,6)$, więc jej współczynnik kierunkowy to $6/4=\frac32$. Ma zatem równanie $y=\frac32(x+1)$, a dla $x=0$ otrzymujemy $y=\frac32$.

Podstawiamy odciętą każdego punktu do $f(x)=(\sqrt3-\sqrt2)x-1$ i upraszczamy iloczyny z użyciem $(\sqrt3-\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt2)=1$. Zgodność zachodzi dla A, B i D, natomiast współrzędna punktu C nie jest równa $f(\sqrt3)$.

Dla punktu o $x\ne2$ współczynnik musi być równy $a=y/(x-2)$. W A otrzymujemy dwukrotnie $\frac12$, w B dwukrotnie $2$, w D dwukrotnie $-3$. W C wartości to $\frac25$ oraz $-1$, więc nie istnieje jeden wspólny współczynnik.

Współczynnik prostej prostopadłej wynosi $-1/(\sqrt2-1)$. Po usunięciu niewymierności z mianownika dostajemy $-(\sqrt2+1)=-1-\sqrt2$.

Dla $m\ne1$ współczynnik kierunkowy wynosi $-(4-m^2)/(1-m)$. Dla $m=\sqrt2$ jest dodatni. Dla $m=\pm2$ jest równy zeru, a dla $m=1$ równanie opisuje prostą pionową, nie wykres funkcji $y=f(x)$.

Współczynniki kierunkowe to $m+\frac12$ i $m-\frac12$. Prostopadłość wymagałaby $(m+\frac12)(m-\frac12)=-1$, czyli $m^2=-\frac34$, co nie ma rozwiązania rzeczywistego.

Wyznaczamy równania przekątnych $AC$ i $BD$ z podanych par wierzchołków. Rozwiązanie układu tych dwóch równań daje punkt $(1,-2)$.

Nierówność ma postać $y\le4-\frac12x$. Dla dodatnich całkowitych $x=1,2,3,4,5,6$ liczby dopuszczalnych dodatnich wartości $y$ wynoszą kolejno $3,3,2,2,1,1$. Suma to $12$.