MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 248

Warunek współliniowości zapisujemy jako równość współczynników kierunkowych wyznaczonych przez dwie pary punktów. Rozwiązanie równania z parametrem daje odpowiednio $t=6$ i $t=4$.

Proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. Po przekształceniu równań do postaci kierunkowej i zrównaniu tych współczynników otrzymujemy podane wartości.

Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich niezerowych współczynników kierunkowych jest równy $-1$. Zastosowanie tego warunku po uporządkowaniu równań daje kolejne wartości parametru.

Po rozwiązaniu obu układów względem jednej niewiadomej otrzymujemy równania liniowe z parametrem. Warunek zgodności rozwiązania z podaną wartością prowadzi do $m=-\frac56$ oraz $m=-2$.

Każdy układ rozwiązujemy metodą eliminacji. Jeśli po eliminacji powstaje sprzeczność, układ nie ma rozwiązania; w pozostałych przypadkach podstawiamy wyznaczoną niewiadomą do jednego z równań.

Przecięcia prostych zawierających przekątne i podane boki wyznaczają cztery wierzchołki rombu. Pozostałe boki są równoległe do $x-2y\pm5=0$; podstawienie właściwych wierzchołków daje ich równania.

Wierzchołki powstają w punktach przecięcia par prostych $k,l,m$. Spodek wysokości otrzymujemy jako przecięcie przeciwległego boku z prostą przechodzącą przez wierzchołek kąta prostego i do tego boku prostopadłą.

Niech $D=(d,0)$. Warunek równoległości odpowiednich boków równoległoboku, równoważnie zależność wektorowa między kolejnymi wierzchołkami, prowadzi do równania dla $d$. Jego dwa dopuszczalne rozwiązania to $d=4$ i $d=9$.