MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 247

Miejsca przecięcia z osiami uzyskujemy, podstawiając kolejno $x=0$ i $y=0$. Pole trójkąta o przyprostokątnych równych modułom odciętych punktów przecięcia wynosi $\frac12|x_0y_0|$. Daje to: a) $(9,0)$, $(0,3)$ i $13{,}5$; b) $(14,0)$, $(0,-8)$ i $56$; c) $(-\frac52,0)$, $(0,-\frac{15}{2})$ i $9{,}375$.

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje znak współczynnika przy $x$. W a) jest nim $m+\frac12$, a w b) $9-m$. Rozpatrzenie znaku dodatniego, zera i znaku ujemnego daje podane przedziały.

Dla każdej trójki porównujemy współczynniki kierunkowe prostych wyznaczonych przez dwie pary punktów. W a) współczynniki są różne, więc punkty nie są współliniowe. W b) są równe, więc wszystkie trzy punkty leżą na jednym wykresie funkcji liniowej.

Ponieważ $P$ i $Q$ leżą na $y=ax$, dla każdego punktu $a=y/x$. Zrównujemy ilorazy utworzone ze współrzędnych obu punktów i rozwiązujemy otrzymane równanie z niewiadomą $k$.

Równanie prostej przez dwa punkty ma współczynnik $a=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$. Po wyznaczeniu $a$ i wyrazu wolnego oraz podstawieniu $x=0$ i $y=0$ otrzymujemy wskazane przecięcia z osiami.

Liczymy współczynniki kierunkowe par przeciwległych boków. W obu podpunktach współczynnik prostej $PQ$ jest równy współczynnikowi prostej $SR$, co dowodzi ich równoległości i tym samym istnienia trapezu.

Najpierw obliczamy współczynnik kierunkowy prostej z dwóch podanych punktów, a następnie wyraz wolny przez podstawienie jednego z nich.

Dla każdej pary kolejnych wierzchołków wyznaczamy równanie prostej. Iloczyn współczynników dwóch boków spotykających się w wyróżnionym wierzchołku wynosi $-1$, więc kąt jest prosty.

Równania czterech boków wyznaczamy z par końców. Boki przeciwległe mają jednakowe współczynniki $\frac12$ oraz $-2$, a iloczyn współczynników boków sąsiednich wynosi $-1$. Czworokąt jest więc równoległobokiem z kątem prostym, czyli prostokątem.

Po uporządkowaniu każdego równania porównujemy współczynniki przy $x$. Gdy znika także wyraz stały, rozwiązań jest nieskończenie wiele; gdy zostaje sprzeczność, rozwiązań nie ma; w pozostałych przypadkach dzielimy przez niezerowy współczynnik.