Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 240

rozdział 5. Funkcja liniowa · temat „*5.8. Równania i nierówności liniowe z parametrami” · 6 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wyznaczamy jedyne rozwiązanie i rozwiązujemy warunek $x>0$ . a) $x=(5m+12)/2$ . b) Dla $m\ne0$ mamy $x=1/(2m)$ . c) Dla $m\ne2$ mamy $x=3/(m-2)$ .

Odpowiedź

a) $m>-\frac{12}{5}$ ; b) $m>0$ ; c) $m>2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprowadzamy każde równanie do $A(m)x=B(m)$ . Dla $A\ne0$ jest jedno rozwiązanie; dla $A=0$ sprawdzamy, czy także $B=0$ .

Odpowiedź

a) brak dla $m=2$ , jedno dla $m\ne2$ ; b) brak dla $m=-3$ , jedno dla $m\ne-3$ ; c) nieskończenie wiele dla $m=-1$ , jedno dla $m\ne-1$ ; d) nieskończenie wiele dla $m=\frac12$ , jedno dla $m\ne\frac12$ ; e) brak dla $m=1$ , nieskończenie wiele dla $m=-1$ , jedno dla $m\notin\{-1,1\}$ ; f) brak dla $m=0$ , nieskończenie wiele dla $m=-2$ , jedno dla $m\notin\{-2,0\}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po redukcji każdy przypadek ma postać $A(p,q)x=B(p,q)$ . Jeśli $A\ne0$ , rozwiązanie jest jedyne; jeśli $A=0$ , równość $B=0$ daje nieskończenie wiele rozwiązań, a $B\ne0$ — brak.

Odpowiedź

a) brak dla $q=2p$ i $p\ne4$ , jedno dla $q\ne2p$ , nieskończenie wiele dla $(p,q)=(4,8)$ . b) brak dla $p=3,q\ne2$ , jedno dla $p\ne3$ , nieskończenie wiele dla $(p,q)=(3,2)$ . c) jedno dla $p\ne-q$ , nieskończenie wiele dla $p=-q$ . d) brak dla $p=-q\ne0$ , jedno dla $p\ne q$ i $p\ne-q$ , nieskończenie wiele dla $p=q$ . e) jedno dla $p\ne-q$ , nieskończenie wiele dla $p=-q$ . f) brak dla $q=2p$ i $p\ne0$ , jedno dla $q\ne2p$ , nieskończenie wiele dla $p=q=0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Traktując $a$ jako parametr, mamy $(a-2)x=4a-1$ . Dla $a=2$ powstaje $0=7$ , a poza tym dzielimy przez $a-2$ . b) Grupując wyrazy z $a$ , otrzymujemy $(x-4)a=2x-1$ . Dla $x=4$ powstaje $0=7$ , a poza tym dzielimy przez $x-4$ .

Odpowiedź

a) dla $a=2$ równanie sprzeczne, dla $a\ne2$ : $x=\frac{4a-1}{a-2}$ ; b) dla $x=4$ równanie sprzeczne, dla $x\ne4$ : $a=\frac{2x-1}{x-4}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Granica przedziału jest rozwiązaniem równania otrzymanego po zastąpieniu nierówności równością; znak współczynnika określa kierunek półprostej. a) $-2/(k-3)=-2$ i $k-3>0$ . b) $-6/(k+1)=3$ i $k+1<0$ . c) wymagania na granicę i kierunek są sprzeczne. d) $2/(2-k)=-4$ oraz $2-k<0$ .

Odpowiedź

a) $k=4$ ; b) $k=-3$ ; c) nie ma takiego $k$ ; d) $k=\frac52$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Miejsce zerowe to $x_0=(1-6k)/3$ . Warunek $-2\le x_0\le2$ daje $-5/6\le k\le7/6$ . b) Po rozwinięciu $f(x)=-4kx+k^2$ , więc przy $k\ne0$ mamy $x_0=k/4$ . Warunek $-2\le k/4\le2$ daje domknięty przedział $[-8,8]$ , z którego usuwamy $0$ .

Odpowiedź

a) $k\in[-\frac56,\frac76]$ ; b) $k\in[-8,0)\cup(0,8]$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem