MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 233

Wierzchołki równoległoboku są przecięciami po jednej prostej z każdej pary prostych równoległych. Rozwiązujemy cztery odpowiednie układy w każdym podpunkcie.

Proste o nachyleniu $1/3$ zawierają podstawy. Z osi $OX$ i $y=x/3-2$ dostajemy $B(6,0)$. Przecięcia $y=2x+3$ z podstawami dają $A(-3,-3)$ i $D(-1,1)$. Czwarty bok jest prostopadły do podstaw, więc ma nachylenie $-3$ i przez $B$ równanie $y=-3x+18$; z drugą podstawą przecina się w $C(5,3)$.

Ze skanu png/233.png odczytujemy poziome podstawy $y=-1$ i $y=7$. Z prostymi $AD:y=2x+5$ i $BC:y=2x-7$ daje to $A(-3,-1)$, $B(3,-1)$, $C(7,7)$, $D(1,7)$. a) $P=(-1,3)$, więc przy podstawie $AB=6$ i wysokości $4$ pole wynosi $12$. b) $Q=(7/2,0)$; wzór współrzędnościowy dla $A,B,Q,D$ daje $27$.

Prosta $y=-3x/4+3$ przecina osie w $(0,3)$ i $(4,0)$. Punkt $(4,0)$ należy też do przeciwprostokątnej, więc jest wierzchołkiem $B$. Bok $AC$ jest prostopadły do $BC$, ma nachylenie $4/3$ i przechodzi przez $(0,3)$. Przecinając $y=4x/3+3$ z $y=x/2-2$, otrzymujemy $A(-6,-5)$.

Przekątna $BD$ jest prostopadła do $AC$, więc przez $B(-1,-8)$ ma równanie $y+8=-\frac43(x+1)$. Jej przecięcie z $AC:y=3x/4-1$ to środek kwadratu $S(-4,-4)$. Odbicie $B$ względem $S$ daje $D(-7,0)$. Obrót wektora $SB=(3,-4)$ o $90^\circ$ daje m.in. wierzchołek $(0,-1)$ na $AC$. Oba wskazane wierzchołki leżą zatem na osiach.

Wierzchołki są parami przecięć trzech prostych. a) Otrzymujemy $(-2,2)$, $(2,6)$, $(6,-2)$; ze wzoru współrzędnościowego pole wynosi $24$. b) Otrzymujemy $(3,7)$, $(-6,1)$, $(0,-2)$; wartość bezwzględna wyznacznika podzielona przez $2$ daje $63/2$.