MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 23

W dzieleniu pisemnym przez $n$ każda niezerowa reszta należy do zbioru $\{1,2,\ldots,n-1\}$. Jest więc najwyżej $n-1$ możliwych niezerowych reszt. Gdy rozwinięcie jest okresowe, początek kolejnego okresu występuje przy powtórzeniu reszty; do tego czasu może pojawić się najwyżej $n-1$ różnych reszt. Zatem długość okresu jest nie większa niż $n-1$, a więc mniejsza od $n$.

Rozwinięcie nieskończone nieokresowe mają dokładnie liczby niewymierne. Upraszczamy pierwiastki:

a) wymierne są $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{1/4}=1/2$, $\sqrt{16/9}=4/3$; niewymierne pozostają $\sqrt8$ i $\sqrt{3/4}$.

b) $\sqrt[3]8=2$, $\sqrt[3]{27/8}=3/2$, $\sqrt[3]{64/125}=4/5$ są wymierne; $\sqrt[3]9$ i $\sqrt[3]{16}$ są niewymierne.