MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 223

Ze skanu png/223.png odczytujemy $A(-5,0)$, $B(1,-2)$ i $C(3,4)$. Zatem $a_{AB}=(-2-0)/(1+5)=-1/3$, $a_{BC}=(4+2)/(3-1)=3$, a $a_{AC}=(4-0)/(3+5)=1/2$.

Stosujemy wzór na nachylenie kolejno do par $A,B$; $B,C$; $C,D$ i $A,D$. Dostajemy $3/6$, $2/(-2)$, $1/(-5)$ oraz $(-6)/1$.

Dla każdej pary punktów liczymy $a=(y_Q-y_P)/(x_Q-x_P)$, a potem $b=y_P-ax_P$. W podpunkcie f otrzymujemy $a=6/(2\sqrt3)=\sqrt3$ oraz $b=4-\sqrt3\cdot\sqrt3=1$.

Współrzędne wierzchołków odczytane ze skanu png/223.png podstawiamy do wzoru prostej przez dwa punkty. a) Nachylenia boków przeciwległych wynoszą $2/7$ i $2$. b) Wynoszą odpowiednio $-2/7$ i $-5/3$. W obu przypadkach równość współczynników boków przeciwległych dowodzi, że jest to równoległobok.

Liczymy współczynniki czterech boków. a) $a_{PQ}=2/3$, $a_{QR}=-10/3$, $a_{RS}=2/3$, $a_{PS}=-4/3$, więc $PQ\parallel RS$. b) $a_{PQ}=-7/2$, $a_{QR}=-2/5$, $a_{RS}=5/3$, $a_{PS}=-2/5$, więc $QR\parallel PS$. Każdy czworokąt ma parę boków przeciwległych równoległych.

Warunek równoległości to równość współczynników. a) $a_{AB}=1/2$, a $a_{CD}=(4-m)/4$, więc $m=2$. b) $a_{AB}=2m/5$, a $a_{CD}=-2/3$, więc $m=-5/3$.

Współczynnik prostej $KL$ wynosi $(-1-5)/(4+4)=-3/4$. Dla $m\ne0$ prosta $MN$ ma współczynnik $(m/4-8)/m=1/4-8/m$. Z równania $1/4-8/m=-3/4$ dostajemy $m=8$; wartość ta jest dopuszczalna.