MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 216

Badamy znaki współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego oraz położenie przecięcia z osią $OX$. Prosta niestała przecina trzy ćwiartki; pozioma $y=-5$ leży tylko poniżej osi $OX$.

Porównujemy współczynnik $m$ z zerem. a) $\sqrt3-2<0$. b) $5-2\sqrt5>0$, bo $25>20$. c) $\sqrt[3]{-27}=-3$, więc $3-\sqrt[3]{-27}=6>0$.

Funkcja rośnie, gdy współczynnik przy $x$ jest dodatni, maleje, gdy jest ujemny, i jest stała, gdy wynosi zero. Rozwiązujemy odpowiednio nierówności $5-m\gtrless0$, $1+5m\gtrless0$ i $|m|-1\gtrless0$.

Liczymy znak ilorazu $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$. a) $(-37+9)/(-9+37)=-1<0$. b) licznik i mianownik różnicy od pierwszego do drugiego punktu są oba ujemne, więc iloraz jest dodatni. c) licznik jest dodatni, a mianownik $3/5-2/3<0$, więc iloraz jest ujemny.

a) Punkt $(0,4)$ daje $b=4$. Jedynym miejscem zerowym jest $-6$, a funkcja jest dodatnia na prawo od niego, więc $a>0$. Z $-6a+4=0$ mamy $a=2/3$. b) $b=-2$, miejscem zerowym jest $-4$, a nieujemne wartości leżą na lewo, więc $a<0$. Równość $-4a-2=0$ daje $a=-1/2$.

a) Ze skanu png/216.png odczytujemy wierzchołki $(0,-2)$, $(5,0)$, $(0,3)$, $(-2,0)$; wzór $a=\Delta y/\Delta x$ daje cztery równania. b) Ten sam rachunek wykonujemy dla kolejnych par $A,B,C,D$.

Trójkąt osiowy jest równoramienny, gdy bezwzględne wartości obu odciętych na osiach są równe. a) Miejsce zerowe to $3$, a funkcja ma maleć, więc drugie przecięcie to $(0,3)$. b) Przy przecięciu $(0,-4)$ miejsce zerowe może wynosić $4$ albo $-4$.

Niech drugie przecięcie z osią będzie $(p,0)$. Pole wynosi $\frac12\cdot3\cdot|p|$, więc $|p|=2P/3$. Prosta przez $(0,-3)$ i $(p,0)$ ma nachylenie $3/p$, stąd dla obu znaków $p$ dostajemy dwie funkcje.

Niech przecięcie z osią $OY$ wynosi $(0,q)$. Pole trójkąta to $\frac12\cdot\frac32\cdot|q|=\frac34|q|$, więc $|q|=4P/3$. Ponieważ $0=a\cdot3/2+q$, mamy $a=-2q/3$. Rozpatrujemy oba znaki $q$.