MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 212

Miejsce przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,b)$, więc grupujemy proste według wyrazu wolnego. Dla szkicu każdej prostej wystarczą punkt $(0,b)$ i drugi punkt uzyskany po podstawieniu wygodnego $x$.

Zachowujemy współczynnik kierunkowy podanej prostej i wyznaczamy $b$ z warunku przejścia przez $P$. a) $5=b$. b) $8=-3+b$. c) $5=8+b$. d) $6=\sqrt3\cdot2\sqrt3+b=6+b$.

Z punktu $P$ i odczytanego ze skanu png/212.png przecięcia z osią $OY$ wyznaczamy równanie wykresu. Otrzymujemy odpowiednio $y=\frac12x-1$, $y=2x+3$ i $y=-\frac23x+2$. Po podstawieniu współrzędnych $Q$ pierwsze dwa równania nie są spełnione, a trzecie jest.

Wyraz wolny wynosi $4$. W równaniu $y=ax+4$ podstawiamy współrzędne punktu $P$. Dostajemy kolejno $a=1$, $1/2$, $-3$ i $-8$. Do szkicu można użyć punktów $(0,4)$ i podanego $P$.

a) Proste przecinają się w $(6,2)$, a na osi $OY$ w $(0,3)$ i $(0,-2)$. Zacieniowany trójkąt ma podstawę $5$ i wysokość $6$, więc $P=\frac12\cdot5\cdot6=15$. b) Dwie równoległe proste różnią się wartościami o $4$; między $x=0$ i $x=6$ tworzą równoległobok o polu $4\cdot6=24$.

Niech $(x,y)$ ma obie współrzędne wymierne i spełnia $y=\sqrt2x$. Gdyby $x\ne0$, to $\sqrt2=y/x$ byłoby liczbą wymierną, co jest sprzeczne z niewymiernością $\sqrt2$. Zatem $x=0$, a wtedy także $y=0$. Para $(0,0)$ rzeczywiście spełnia równanie.

Załóżmy przeciwnie, że $x,y\in\mathbb Q$ i $y=\sqrt2x-\sqrt3$. Dla $x=0$ mielibyśmy niewymierne $y=-\sqrt3$, a dla $y=0$ — niewymierne $x=\sqrt{3/2}$. Gdy $xy\ne0$, po przeniesieniu i podniesieniu do kwadratu dostajemy $3=2x^2+y^2-2xy\sqrt2$, czyli $\sqrt2=(2x^2+y^2-3)/(2xy)\in\mathbb Q$, sprzeczność.