MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 21

Ze skanu odczytujemy rodzaj zaznaczonego odcinka.

W trójkącie równobocznym wysokość spełnia $h=s\sqrt3/2$, więc dla $h=\sqrt6$ mamy $s=2\sqrt2$ i obwód $6\sqrt2$.

W kwadracie $d=s\sqrt2$, więc dla $d=2\sqrt3$ mamy $s=\sqrt6$ i obwód $4\sqrt6$.

W sześciokącie krótka przekątna ma długość $s\sqrt3$. Z warunku $s\sqrt3=3\sqrt3$ dostajemy $s=3$ i obwód $18$.

Przypuśćmy, że $\sqrt k=m/n$ dla liczb całkowitych $m,n\ne0$. Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy $kn^2=m^2$. W rozkładzie kwadratu $m^2$ każdy wykładnik liczby pierwszej jest parzysty.

a) Dla $k=3$ wykładnik czynnika $3$ po lewej jest nieparzysty.

b) Dla $k=5$ tak samo dzieje się z czynnikiem $5$.

c) Dla $k=6=2\cdot3$ wykładniki czynników $2$ i $3$ po lewej są nieparzyste.

W każdym przypadku powstaje sprzeczność.

a) Załóżmy przeciwnie, że dla niewymiernego $x$ i wymiernego $w\ne0$ iloczyn $xw$ jest wymierny. Wtedy $x=(xw)/w$ byłby ilorazem liczb wymiernych, a więc liczbą wymierną — sprzeczność.

b) Gdyby $x+w$ było wymierne, to $x=(x+w)-w$ byłoby różnicą liczb wymiernych, a więc liczbą wymierną. Znów otrzymujemy sprzeczność.

Wybieramy niewymierną wielokrotność $\sqrt2$ i sprawdzamy przybliżenie $\sqrt2\approx1{,}414$:

a) $\sqrt2\approx1{,}414$; b) $0{,}01\sqrt2\approx0{,}01414$; c) $5+0{,}001\sqrt2\approx5{,}001414$.

Każda liczba leży w wymaganym przedziale i jest niewymierna.

Jeżeli krawędź sześcianu ma długość $a$, jego przekątna przestrzenna wynosi $a\sqrt3$. Z warunku $a\sqrt3=3$ dostajemy $a=\sqrt3$. Pole powierzchni: $P=6a^2=6\cdot3=18,$ a objętość: $V=a^3=(\sqrt3)^3=3\sqrt3.$ Pierwsza liczba jest wymierna, druga niewymierna.

Wybierzmy dzielniki $a=3$, $b=4$, $c=12$. Przekątna prostopadłościanu ma wtedy długość $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13,$ czyli jest liczbą wymierną.