MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 20

W każdej trójce dwa pierwiastki są całkowite, a jeden ma pod pierwiastkiem liczbę niebędącą pełnym kwadratem: $\sqrt{164},\qquad\sqrt{125},\qquad\sqrt{286}.$

Skan pokazuje w obu przypadkach trójkąt prostokątny o wysokości $1$. W a) druga przyprostokątna ma długość $2$, a w b) — $3$. Czerwona przeciwprostokątna jest przeniesiona cyrklem na oś liczbową.

a) $OP=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt5$.

b) $OP=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$.

Żadna z liczb $5,10$ nie jest pełnym kwadratem, więc oba pierwiastki są niewymierne.

Z twierdzenia Pitagorasa przekątna ma długość $d=\sqrt{x^2+y^2}$:

a) $d=\sqrt{20}=2\sqrt5$ — niewymierna; b) $d=5$ — wymierna; c) $d=10$ — wymierna; d) $d=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$ — niewymierna; e) $d=13$ — wymierna; f) $d=25$ — wymierna.

Podstawiamy podane przybliżenia:

a) $1{,}414+1{,}732=3{,}146>3$; b) $2{,}236+1{,}732=3{,}968<4$; c) $2\cdot1{,}414+2{,}236=5{,}064>5$; d) $2{,}236-1{,}732=0{,}504>0{,}5$; e) $4-2\cdot1{,}732=0{,}536<1{,}414/2=0{,}707$; f) $(2{,}236+1{,}414)/2=1{,}825>1{,}732$.

Dla $\pi\approx3{,}14$:

a) $2\pi+5\approx11{,}28$, więc największe naturalne $n<11{,}28$ to $11$.

b) $\pi^2-1\approx8{,}8596$, więc $n=8$.

c) $10\pi-7\approx24{,}4$. Ponieważ $4^2<24{,}4<5^2$, największe $n$ to $4$.

Dobieramy pary tak, aby części z $\sqrt3$ się skróciły albo dały wymierny iloczyn lub iloraz:

a) $p+q=(3-2\sqrt3)+2\sqrt3=3$ (również $p+r=-4$); b) $q-r=7$; c) $qs=(2\sqrt3)(7\sqrt3)=42$; d) $q/s=2/7$.