MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 205

W pierwszej części równanie $-3x+5=0$ daje $x=\frac53$, które spełnia warunek $x<2$. W drugiej części $-5x+3=0$ daje $x=\frac35$, lecz nie spełnia $x\ge2$, więc je odrzucamy.

Mamy $-3<-2\sqrt2<-2<1$. Ponieważ $f$ jest nierosnąca, z $f(-3)=2$ i $f(1)=2$ wynika $2=f(-3)\ge f(-2\sqrt2)\ge f(1)=2.$ Obie granice są równe, więc wartość pośrednia także musi być równa $2$.

Odbicie względem osi $OY$ zmienia argument $t$ na $x=-t$. Dziedzina $[-3,6]$ przechodzi zatem w $[-6,3]$. Ze skanu wierzchołki $f$ to $(-3,2),(0,-1),(6,2)$, więc wykres $g$ jest łamaną przez $(3,2),(0,-1),(-6,2)$.

Sprawdzamy zera każdej części wraz z jej warunkiem. Pierwsza daje $x=-2$ i spełnia $x<-1$; druga daje $x=1$ i spełnia $-1\le x\le3$; trzecia daje $x=2$, ale ten argument nie spełnia $x>3$.

Mamy $g(x)=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $-x+6$ jest jednym z zer $f$. Z równań $-x+6=-3,2,4$ dostajemy odpowiednio $x=9,4,2$. Ich suma to $9+4+2=15$.

Wyznaczamy wzory: $g(x)=-2x-2,\qquad h(x)=2(x-4)+2=2x-6.$ Ich przecięcia z osią $OX$ to $(-1,0)$ i $(3,0)$, a punkt wspólny spełnia $-2x-2=2x-6$, czyli jest równy $(1,-4)$. Ograniczony obszar jest trójkątem o podstawie $4$ i wysokości $4$, więc $P=\frac12\cdot4\cdot4=8.$

Funkcja $g(x)=f(x)-1$ zeruje się dokładnie wtedy, gdy reszta z dzielenia $x$ przez $4$ wynosi $1$. Spośród liczb naturalnych mniejszych od $12$ są to $1,5,9$. Szkic jest zbiorem punktów o wartościach okresowo $-1,0,1,2$ dla kolejnych reszt $0,1,2,3$.

Wykres $g=-f$ powstaje przez odbicie wykresu ze skanu względem osi $OX$. Dlatego przedziały wzrostu i spadku zamieniają role, a odcinek stały pozostaje stały. Otrzymujemy: stała na $(-\infty,-3)$, rosnąca na $[-3,-1]$ i $[0,\infty)$, malejąca na $[-1,0]$.

Ponadto $g(x)\le0$ jest równoważne $f(x)\ge0$. Ze skanu $f$ leży na osi lub nad nią dla $x\le-2$ oraz w punkcie $x=0$.