MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 202

Ze skanu wykres $f$ jest łamaną przez punkty $(-5,-2)$ (otwarty), $(0,3)$ i $(2,2)$ (domknięty). Przekształcamy każdy punkt, pamiętając o rodzaju końca.

a) $x=t+3$: $D_g=(-2,5]$, punkty $(-2,-2)$ otw., $(3,3),(5,2)$. b) $x=2-t$: $D_g=[0,7)$, punkty $(0,2),(2,3),(7,-2)$ otw. c) $x=t-2$ i $y\mapsto-y$: $D_g=(-7,0]$, punkty $(-7,2)$ otw., $(-2,-3),(0,-2)$. d) $x=1-t$ i $y\mapsto-y$: $D_g=[-1,6)$, punkty $(-1,-2),(1,-3),(6,2)$ otw.

Zmiana $g=-f$ odbija wartości względem osi $OX$.

a)

Miejsca zerowe można przekształcić wraz z argumentem, a wzory otrzymujemy przez rozwinięcie.

a) $g(x)=f(-x)=-2x^3-3x^2+8x-3$; z $-x\in\{-1,-\frac12,3\}$: $x\in\{-3,\frac12,1\}$.

b) $g(x)=f(x+1)=2x^3+3x^2-8x-12$; z $x+1\in\{-1,-\frac12,3\}$: $x\in\{-2,-\frac32,2\}$.

c) $g(x)=f(1-x)=-2x^3+3x^2+8x-12$; z $1-x\in\{-1,-\frac12,3\}$: $x\in\{-2,\frac32,2\}$.

Ze skanu miejsca zerowe $f$ to $-5,-2,4$.

a) Dla $g(x)=-f(-x)$ znak wartości nie zmienia położenia zer, a odbicie względem osi $OY$ zmienia ich argumenty na przeciwne. Otrzymujemy $-4,2,5$.

b) Równość $-|f(x)|=0$ zachodzi dokładnie wtedy, gdy $f(x)=0$, więc zera pozostają niezmienione: $-5,-2,4$. Szkic powstaje przez odbicie wszystkich wartości wykresu $f$ poniżej osi $OX$.

Liczymy przecięcia wykresu z poziomą prostą $y=m$ osobno na każdej części wzoru.

a) Dla $m=4$ pozostaje tylko punkt środkowej części, więc jest jedno rozwiązanie. Dokładnie trzy rozwiązania występują dla $m=0$ i $m=2$.

b) Dla $m<0$ przecinamy tylko lewą półprostą, a dla $m>4$ tylko prawą — po jednym rozwiązaniu. Gdy $0<m<4$, lewa półprosta daje jedno, a parabola dwa rozwiązania, razem trzy. Wartości graniczne $0,4$ dają po dwa.

Ze skanu odczytujemy

Wierzchołek trójkąta równoramiennego leży na symetralnej podstawy, więc ma współrzędną $x=a/2$. Ponieważ należy do $y=4/x$, jego wysokość jest równa $h=\frac4{a/2}=\frac8a.$ Pole wynosi zatem $P=\frac12ah=\frac12a\cdot\frac8a=4,$ niezależnie od dodatniej wartości $a$.