MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 201

Niech cyframi liczby będą $a\in\{1,\ldots,9\}$ i $b\in\{0,\ldots,9\}$; wtedy $f=ab$.

a) Najmniejszy iloczyn to $0$ (gdy $b=0$), a największy $9\cdot9=81$.

b) Iloczyn $12$ dają pary $(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$, a iloczyn $16$ — $(2,8),(4,4),(8,2)$.

c) Spośród $90$ liczb iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie cyfry są nieparzyste. Jest $5\cdot5=25$ takich liczb, więc parzystą wartość ma $90-25=65$ argumentów.

Dla każdego wskazanego zbioru obliczamy wartości $|x|-1$.

a) Dla $x=-4,-1,0,1,3$ otrzymujemy $3,0,-1,0,2$. b) Na $(-\infty,2)$ minimum $-1$ jest osiągane w $0$, a wartości rosną bez ograniczenia przy $x\to-\infty$. c) Na $[-3,-1]$ wartości tworzą $[0,2]$, a na $[2,4)$ — $[1,3)$; suma tych zbiorów to $[0,3)$.

Dane trzeba odczytać z trzech wykresów. Przyjmujemy przedziały monotoniczności wraz z punktami zwrotnymi, a końce dziedziny $-4,4$ pozostają otwarte.

a) Funkcja rośnie na $(-4,-2]$ i $[0,4)$, maleje na $[-2,0]$; jej zera to $-3,-1,2$, a $f(x)>0$ dla $x\in(-3,-1)\cup(2,4)$.

b) Rośnie na $(-4,-2]$ i $[1,4)$, maleje na $[-2,1]$. Nie ma miejsc zerowych, a dodatnia jest dla $x\in(-4,-1)\cup[2,4)$.

c) Rośnie na $[-3,-2]$, $[0,1]$ i $[2,4)$, a maleje na $(-4,-3]$, $[-2,0]$ i $[1,2]$. Zera to $-3,-1,1,3$; $f(x)>0$ dla $x\in(-4,-3)\cup(-3,-1)\cup(3,4)$.

Wzór $\frac12|x-p|+q$ opisuje przesunięcie wykresu $y=\frac12|x|$ o wektor $[p,q]$. Wierzchołek $(0,0)$ przechodzi więc odpowiednio w $(2,-1)$, $(-3,2)$ i $(-1,-3)$; ramiona zachowują nachylenia $\pm\frac12$.

Rozwiązujemy równania wykresów na odpowiednich gałęziach.

a) Punkty przecięcia to $(-1,1)$ i $(3,5)$. Dolny wykres ma między nimi wierzchołek $(0,-1)$, więc ograniczona figura jest trójkątem. Z wyznacznika wektorów $(1,-2)$ i $(4,4)$: $P=\frac12|1\cdot4-(-2)\cdot4|=6.$

b) Punkty przecięcia to $(-6,-3)$ i $(2,-1)$. Wraz z wierzchołkami $(-3,-6)$ funkcji $g$ i $(0,0)$ funkcji $f$ tworzą czworokąt. Wzór Gaussa dla kolejnych wierzchołków daje $P=\frac12|39-(-3)|=21.$

Podstawiamy $-x$ do wzoru $f$. Warunki zmieniają się na $x>3$, $-2\le x\le3$ i $x<-2$, zatem